高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

本文由wqqq1贡献

doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

第六讲 立体几何新题型的解题技巧

【命题趋向】在 2007 年高考中立体几何命题有如下特点： 年高考中立体几何命题有如下特点 立体几何命题有如下特点： 在 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 线面位置关系突出平行和垂直 2.多面体中线面关系论证 空间“ 多面体中线面关系论证， 距离”的计算常在解答题中综合出现． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现 3.多面体及简单多面体的概念 性质多在选择题，填空题出现． 多面体及简单多面体的概念、 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点 有关三棱柱 分之间， 个选择题， 个填空题， 个解答题. 此类题目分值一般在 1722 分之间，题型一般为 1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题 【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会 版 计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面 的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. 版 ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直 空间距离和角是高考考查的重点 线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作 为命题的重点内容， 高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查， 分为多个 小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中 档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证 明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂 足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例 1（2007 年福建卷理）如图，正三棱柱 ABC A1 B1C1 的所有棱长都为 2 ， D 为 CC1 中点． 年福建卷理） （ （Ⅰ）求证： AB1 ⊥平面 A1 BD ； （Ⅱ）求二面角 A A1 D B 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 A1BD 的距离． 考查目的： 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 B 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 A

A1

C

D

C1 B1

状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

水平测试各科资源下载

解答过程：解法一： （Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ． 解答过程 ∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．

A F C O B D

A1

∵ 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ，

∴ AO ⊥ 平面 BCC1 B1 ．

C1 B1

连结 B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D 分别为

BC，CC1 的中点， ∴ B1O ⊥ BD ， ∴ AB1 ⊥ BD ．

在正方形 ABB1 A1 中， AB1 ⊥ A1 B ， ∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD ． （Ⅱ） AB1 与 A1

B 交于点 G ， 设 在平面 A1 BD 中， GF ⊥ A1 D 于 F ， 作 连结 AF ， （Ⅰ） AB1 ⊥ 由 得 平面 A1BD ．

∴ AF ⊥ A1D ， ∴∠AFG 为二面角 A A1 D B 的平面角．

在 △ AA1 D 中，由等面积法可求得 AF = 4 5 ， 5 又∵ AG = 1 AB1 = 2 ， ∴ sin ∠AFG = AG = 2 = 10 ． 2 4 AF 4 5 5 所以二面角 A A1 D B 的大小为 arcsin 10 ． 4

（Ⅲ） △ A1 BD 中， BD = A1 D = 5，A1 B = 2 2， S△ A BD = 6 ， S△ BCD = 1 ． ∴ 1

在正三棱柱中， A1 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 ． 设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d ． 由 VA BCD = VC A BD ，得 1 S△ BCD i 3 = 1 S△ A BD i d ，

1 1

3

3

1

∴d =

3S△ BCD 2． = S△ A1BD 2

∴ 点 C 到平面 A1BD 的距离为 2 ．

2

解法二： （Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ． ∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ． ∵ 在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ，

∴ AD ⊥ 平面 BCC1 B1 ．

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

取 B1C1 中点 O1 ，以 O 为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系，则 B(1， 0) ， D ( 11， ， A1 (0， 3) ， A(0， 3) ， B1 (1， 0) ， 0， 0， 2， ，0) 2，

∴ AB1 = (1， 3) ， BD = (2，0) ， BA1 = (1， 3) ． 2， 1， 2， ∵ AB1 i BD = 2 + 2 + 0 = 0 ， AB1 i BA1 = 1 + 4 3 = 0 ， ∴ AB1 ⊥ BD ， AB1 ⊥ BA1 ． ∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD ．

z A F C O B D

A1

C1

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

y

B1

x

（Ⅱ）设平面 A1 AD 的法向量为 n = ( x，y，z ) ．

AD = (11， 3) ， AA1 = (0， 0) ． ∵ n ⊥ AD ， n ⊥ AA1 ， ， 2，

ni AD = 0， x + y 3 z = 0， y = 0， ∴ ∴ ∴ 2 y = 0， x = 3 z． ni AA1 = 0， 令 z = 1 得 n = ( 3，1) 为平面 A1 AD 的一个法向量． 0， 由（Ⅰ）知 AB1 ⊥ 平面 A1BD ，

∴ AB1 为平面 A1 BD 的法向量．

cos < n ， AB >= ni AB1 = 3 3 = 6 ． 1 4 2i 2 2 n i AB1

∴ 二面角 A A1 D B 的大小为 arccos 6 ．

4

（Ⅲ）由（Ⅱ） AB1 为平面 A1BD 法向量， ，

∵ BC = (2， 0) AB1 = (1， 3) ． 0，， 2，

∴ 点 C 到平面 A1BD 的距离 d = BC i AB1 = 2 = 2 ．

AB1 2 2 2

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法， 小结 把不易直接求的 B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算 方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何 作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 例 2. …… 此处隐藏：3772字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……