【步步高】2016高考数学大一轮复习 1.3基本逻辑联结词、全称量词(3)

解 若p 为真命题，则a ＝0或????? a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2

－4a ≥0，即a ≤14

. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，

所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．

若p 真q 假，则14

<a <4；若p 假q 真，则a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14

，4)． 5．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足????? x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.

(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；

(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.

12 又a >0，所以a <x <3a .

当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.

由????? x 2

－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得????? －2≤x ≤3，x <－4或x >2， 即2<x ≤3.

所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则????? 1<x <32<x ≤3?2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．

(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，

即綈p ?綈q 且綈qD 綈p .

设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .∴0<a ≤2且3a >3，

∴1<a ≤2，

∴实数a 的取值范围是(1,2]．