【步步高】2016高考数学大一轮复习 1.3基本逻辑联结词、全称量词

§1.3基本逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表

p q p∧q p∨q 綈p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.全称量词和存在量词

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等?

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等?

3.全称命题和存在性命题

命题名称命题结构命题简记

全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立?x∈M，p(x)

存在性命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立?x0∈M，p(x0)

4.含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)

?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( ×)

2n>1 000，则綈p：?n∈N,02n≤1 000.(×)

(2)已知命题p：?n0∈N,0

(3)命题p和綈p不可能都是真命题．( √)

(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”．( ×)

(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．( √)

2x≤0”是假命题．( √)

(6)命题“?x0∈R,0

1

2

1．命题p ：?x ∈R ，sin x <1；命题q ：?x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是________． ①p ∧q;

②綈p ∧q ； ③p ∨綈q;

④綈p ∧綈q .

答案 ②

解析 ∵p 是假命题，q 是真命题，

∴綈p ∧q 是真命题．

2．(2013·重庆改编)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．

答案 存在x 0∈R ，使得x 20<0

解析 因为“?x ∈M ，p (x )”的否定是“?x 0∈M ，綈p (x 0)”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．

3.(2014·重庆改编)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；

q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是________．

①p ∧q; ②綈p ∧綈q ；

③綈p ∧q; ④p ∧綈q .

答案 ④

解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x

>0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q 、綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，故④正确．

4．若命题“?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－4,0]

解析 “?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“?x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，

∴－4≤m ≤0.

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断

例1 (1)命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ?

????2x －π3的图

3 象；命题q ：函数y ＝sin ? ????x ＋π6cos ? ??

??π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中真命题的个数是________．

(2)已知命题p ：若a >1，则a x

>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是________． ①(綈p )∧(綈q )

②(綈p )∨(綈q ) ③p ∨(綈q ) ④p ∧q 答案 (1)2 (2)②

解析 (1)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3

个单位后， 所得函数为y ＝sin ??????2? ????x －π3＝sin ?

????2x －2π3， ∴命题p 是假命题．

又y ＝sin ? ????x ＋π6cos ? ??

??π3－x ＝sin ?

????x ＋π6cos ??????π2－? ????x ＋π6 ＝sin 2?

????x ＋π6＝12－12cos ? ????2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2

＝π， ∴命题q 真．

由此，可判断命题“p ∨q ”真，“p ∧q ”假，“綈p ”为真．

所以真命题的个数是2.

(2)当a ＝1.1，x ＝2时，

a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，

此时，a x <log a x ，故p 为假命题．

命题q ，由等差数列的性质，

当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，

当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，

所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．

思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤：

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p 、q 的真假；

4 (3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．

(1)(2014·湖南改编)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．

(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件．

答案 (1)②③ (2)必要不充分

解析 (1)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题．

当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．

由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．

(2)若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题．

若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，

因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．

题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定

例2 (1)下列命题中的假命题是________．

①?x ∈R ，ln x ＝0;

②?x ∈R ，tan x ＝π2； ③?x ∈R ，x 2>0; ④?x ∈R,3x >0.

(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：

①p ：?x ∈R ，x 2－x ＋14

≥0； ②q ：所有的正方形都是矩形；

③r ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；

④s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.

思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定．

答案 (1)③

解析 (1)∵ln 1＝0，∴①正确；

∵tan x ∈R ，∴?x ∈R ，tan x ＝π2

正确，∴②正确； 当x ＝0时x 2>0不成立，∴③错；

∵x ∈R,3x >0正确，∴④正确．

(2)解 ①綈p ：?x 0∈R ，x 20－x 0＋14

<0，假命题． ②綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

③綈r ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．

④綈s ：?x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．

5 思维升华 (1)判定全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．

(2)对全(存在性)称命题进行否定的方法：

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的 …… 此处隐藏：3322字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……