【步步高】2016高考数学大一轮复习 1.3基本逻辑联结词、全称量词(2)

解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，

∵“p 且q ”为真命题，

∴p 、q 均为真命题，

∴a ≤－2或a ＝1.

(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2

2.

常用逻辑用语与一元二次不等式

一、命题的真假判断

典例：已知命题p ：?x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2

－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么________．

①“綈p ”是假命题

②q 是真命题

③“p 或q ”为假命题

④“p 且q ”为真命题

解析 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，

即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题；

对于命题q ，当m ＝0时，有－1<0，恒成立，

所以命题q 为假命题．

7 综上可知：綈p 为真命题，

p 且q 为假命题，p 或q 为假命题．

答案 ③

温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断．

二、确定参数的取值范围

典例：(1)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．

(2)已知p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．

解析 (1)方法一 由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0，

解得－2≤a ≤2.

方法二 若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]．

(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，?x ∈R ，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得????? m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.

答案 (1)[－2,2] (2)[2，＋∞)

温馨提醒 在与全称命题、存在性命题有关的问题中，如果从原来的命题出发解决问题不方便，则可以先否定原来的命题，再依据补集思想解决原问题

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方法与技巧

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

失误与防范

1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．

2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q .

3．命题的否定与否命题

8 “否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论

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A 组 专项基础训练

(时间：35分钟)

1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2

；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2

对称．则下列判断正确的是________． ①p 为真； ②綈q 为假；

③p ∧q 为假；

④p ∨q 为真． 答案 ③

解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．

2.已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．

①綈p ∨q; ②p ∧q ；

③綈p ∧綈q;

④綈p ∨綈q . 答案 ④

解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．

3．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋2≤0”是________命题(用“真”或“假”填空)． 答案 假

解析 ∵Δ＝1－8<0，

∴x 2＋x ＋2>0恒成立，

∴不存在x ∈R ，使x 2＋x ＋2≤0.

4．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为________．

答案 存在一个指数函数，它不是单调函数

解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．

5．已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题p 为真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．

答案 (4，＋∞)

解析 当x ∈[0,1]时，e x ∈[1，e]，∴a ≥e；

9 又q 为假命题，∴Δ＝16－4a <0，即a >4.综上，当p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围是(4，＋∞)．

6．下列结论正确的个数是________．

①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限；

②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”；

③命题p ：“?x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“?x ∈R ，x 2－x －1≤0”；

答案 1

解析 ①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z ＝1＋i ，对应点在第一象限；②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”是错误的，因为“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 且x ≠－y ”；③命题p ：“?x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“?x ∈R ，x 2－x －1≤0”是正确的，存在性命题的否定是全称命题．

7．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________． 答案 存在x 0∈[－1,1]，使f (x 0)<0

8．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x

>1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．

答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)

解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，

x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，

由????? x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3，

所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3.

9．下列结论：

①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；

②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；

③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案 ①③

解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，

所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；

②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；

③正确．所以正确结论的序号为①③.

10 10．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在? ??

??12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．

解 ∵函数y ＝c x

在R 上单调递减，∴0<c <1.

即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1. 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在? ??

??12，＋∞上为增函数， ∴c …… 此处隐藏：3340字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……