高等数学(同济第六版)上册_期末习题(含答案)(3)

x 42

y 4 3

z 74

2x 3y 4z 5 0垂直相交的直线方程。

十四.证明3x 1

x

dx1 x

2

0在区间(0,1)内有唯一的实根。

x

提示：令F(x) 3x 1

dx1 x

2

F(0) F(1) 0，再证唯一性。

本题不作要求 十五.设f(x)可导，且f(0) 0,F(x)

lim

F(x)x

2n

x

t

n 1

f(x t)dt，证：

nn

x 0

12n

f (0)

x0

x t u

n

n

提示：F(x)

t

n 1

f(x t)dt

x(1 x)

2

nn

1n

0x

n

f(u)du

1n

x0

n

f(u)du

x(1 x)0

2

十六.设x 0,f(x)满足

a

3

2

f(x)dx x,求f(2)。提示：对

f(x)dx x求导,

十七.证： xf(x)dx

1

2

a

2

xf(x)dx,f(x)连续，a 0，并求

2

xsin(x)dx。

32

2

2

a

32

1

a

20

xf(x)dx

2

0

xf(x2)dx

2

x t

1

a2

tf(t)dt所求值为1

十八.求f(x)

x

2

(2 t)e tdt的最大、小值。最小值为1,最大值为1 e 2

十九.已知1

f(0) 1,f(2) 3,f (2) 5,求 xf (2x)dx。 2

二十.已知

sinx

sin2

x。0

x

2

,求

x

2

2

提示：用分部积分，先将1x

2

凑入微分

二十一.设f(x)

x

2

e

t

2

dt,求1

1

xf(x)dx。同41题

二十二.f(x)

x

lnt

1 tx 0,求f(x) f(112

1

x)。 2(lnx) 二十三.1)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0,0 f (x) 1，证： ( 1

f(x)2

3

0dx)

1

f(x)dx。

提示：可利用已知条件知f(x) 1

2)设b

f(x) C[a,b]，证：( f(x)dx)2

(b a) b

f2

(x)dx。

a

a

x

提示：

设F(x) ( f(t)dt)2

(x a) x

f2

a

a

(t)dt

x (a,b)

F'(x) 0

#3)设f(x) C[a,b]，且f(x) 0，证： b

a

f(x)dx

b

1a

f(x)

(b a)2

提示：设F(x)

xa

f(t)dt

x1a

f(t)

dt (x a)

2

F'(x)

4) 设b

b

f(x) C[a,b],且严格单调增加，证：(a b) f(x)dx 2 a

xf(x)dx。

a

提示：设F(x) 2 xtf(t)dt (a x) x

a

a

f(t)dt

F'(x)

5) 设f(x)在[a,b]上可导，且f (x) M,f(a) 0，证： b

f(x)dx

M(b a)2

。a

2

提示：x [a,b],有微分中值定理：f(x) f(a) f'( )(x a) (a,x)

b

a

f(x)dx

ba

f'( )(x a)dx

二十四. 设f(x)在[0, ]上连续，在(0, )内可导，且

f(x)cosxdx

f(x)sinxdx 0，证明： 一个 (0, )，使得f ( ) 0。

证：在(0, )内sinx 0，由 f(x)sinxdx 0可知，f(x)在(0, )内不能恒正或负，

由于f(x)的连续性可知f(x)在(0, )内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。

反证：若x0 (0, )是f(x)的唯一零点，则当x x0,

sin(x x0)f(x)就恒正或负，于是

sin(x x0)f(x)dx 0，

而

sin(xxdxxsinx0

0)f(x)

(sinxcosx0

0 cos0)f(x)dx

cosx

0 sinxf(x)dx sinx0 0

cosxf(x)dx 0，矛盾，

所以f(x)在(0, )内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。