2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

2012年数学一轮精品复习学案：选 修 系 列

第一部分：坐标系与参数方程

【高考目标导航】

一、坐标系 1．考纲点击

（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。能进行极坐标和直角坐标的互化；

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

2．热点提示

（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题； （2）极坐标系的应用；

（3）直角坐标与极坐标的互化。 二、参数方程 1．考纲点击

（1）了解参数方程，了解参数的意义；

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。 2．热点提示

（1）参数方程和普通方程互化；

（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题； （3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。

【考纲知识梳理】

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 :

x x y y

( 0)( 0)

的作用下,点P(x,y)对

应到点P (x ,y ),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极

轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角,记为 .有序数对( , )叫做点M的极坐标,记作M( , ).

一般地,不作特殊说明时,我们认为 0, 可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定 0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示;同时,极坐标

( , )表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示

:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是( , )( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即( , ),( ,2 ),( , ),( , ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ,点M(

(

4,4

)可以表示为

4

,

2 或) 2或)(-444

5

4

)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程 .

444

二、参数方程 1.参数方程的概念

x f(t)

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ①,并

y g(t)

且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与

x f(t) y g(t)

参数的关系y g(t),那么 的取值范围保持一致.

就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，

x rcos

( 为参数)。 设M(x,y)，则

y rsin

这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中 的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a) (y b) r，

2

2

2

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

它的参数方程为：

x a rcos y b rsin

( 为参数)。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

xa

22

yb

22

1(a b 0),其参数方程为

x acos

( 为参数)，其中参数 称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

y bsin

x bcos

( 为参数),其中参数 仍为离心角，通常规定参数 2 1(a b 0),其参数方程为 2

y asin ab

y

2

x

2

的范围为 ∈[0，2 ）。

注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为

xa

22

2

时，相应地也有0

2

，在其他象限内类似。

yb

22

1(a 0,b 0),其参数方程为

x asec 3

( 为参数) [0,2 )且 , . ，其中

y btan 22

焦点在y轴上的双曲线的标准方程是

x bcot

( 为参数，其中 (0,2 )e且 .

y acsc

ya

22

xb

22

1(a 0,b 0),其参数方程为

以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程

x 2pt2

(t为参数). 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2px(p 0)的参数方程为

y 2pt

2

7．直线的参数方程

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为 (

2

)的直线l的普通方程是y y0 tan (x x0),而过

2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

x x0 tcos

M0(x0,y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程为 (t …… 此处隐藏：2622字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……