高中数学【配套Word版文档】四.4.3三角函数的图象和性质(3)

7． (14分)已知函数f(x)＝sin 2x－3cos 2x＋1.

ππ(1)当x∈ 42时，求f(x)的最大值和最小值； (2)求f(x)的单调区间．

π

2x－＋1. 解 (1)f(x)＝sin 2x－3cos 2x＋1＝2sin 3 πππππ2π

∵x≤∴2x≤π，∴≤2x－， 422633ππ1

2x－ ≤1，∴1≤2sin 2x≤2， ∴sin 3 3 2π

2x＋1≤3， 于是2≤2sin 3 ∴f(x)的最大值是3，最小值是2. πππ

(2)由2kπ－2x2kπ，k∈Z，

232π5π

得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

66π5π

∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

1212

π5π

kπ－，kπ＋ ，k∈Z， 即f(x)的单调递增区间为 1212 ππ3π

同理由2kπ＋2x2kπ＋，k∈Z

232

5π11π

kπ＋，kπ＋，k∈Z. 得f(x)的单调递减区间为 1212

ππ

2x＋ ＋2a＋b，当x∈ 0，时，－5≤f(x)≤1. 8． (14分)已知a>0，函数f(x)＝－2asin 6 2(1)求常数a，b的值；

π

x＋ 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间． (2)设g(x)＝f 2 πππ7π0，∴2x＋ . 解 (1)∵x∈ 26 66π1

2x＋∈ －1 ， ∴sin 6 2 π

2x＋ ∈[－2a，a]． ∴－2asin 6 ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. π

2x＋－1， (2)由(1)得，f(x)＝－4sin 6 π7π

x＋＝－4sin 2x＋ －1 g(x)＝f 6 2 π

2x＋ －1， ＝4sin 6 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，

ππ12x＋ －1>1，∴sin 2x＋ > ∴4sin 6 6 2 ππ5π

∴2kπ＋<2x＋kπ＋k∈Z，

666

ππππ

其中当2kπ＋x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπk∈Z，

6626π

kπ，kπ＋，k∈Z. ∴g(x)的单调增区间为 6

ππ5πππ

又∵当2kπ＋x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋k∈Z.

26663ππ

kπkπ＋ ，k∈Z. ∴g(x)的单调减区间为 63