高中数学【配套Word版文档】四.4.3三角函数的图象和性质(2)

3π

2x＋＝sin 2x (x∈R)， 解析 ∵f(x)＝cos 2 2π

∴最小正周期Tπ，∴①正确；

2

kπ kπ

由2x＝kπ (k∈Z)得x＝，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为 2，0 ，∴取k＝1，得②正2确；

πkππ

由2x＝kπ(k∈Z)得x＝k∈Z，

224

π

∴取k＝0得函数f(x)的对称轴为x＝∴③正确；

4

∵f(x)＝sin 2x (x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，∴④不正确．

方程思想在三角函数中的应用

ππ

2x－＋b的定义域为 0， ，函数的最大值为1，最小值典例：(14分)已知函数f(x)＝2asin 3 2

为－5，求a和b的值．

ππ

2x－ 的值域．②系数a的正、负影响着f(x)审题视角 ①求出2x－的范围，求出sin 3 3的值，因而要分a>0，a<0两种情况讨论．③根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解． 规范解答

πππ2

解 ∵0≤x≤，∴2x－≤，

2333∴－

π3

2x－≤1，[3分] sin 3 2

a＝12－3 2a＋b＝1

若a>0，则 ，解得 ；[8分]

－a＋b＝－5 b＝－23＋123 a＝－12＋3 2a＋b＝－5

若a<0，则 ，解得 .[13分]

a＋b＝1b＝19－3

综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋， b＝19－3.[14分]

温馨提醒 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Aasin(ωx＋φ)或y＝Aacos(ωx＋φ)

的最值，但要注意对a的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论，导致漏解.

方法与技巧

1．利用函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)，求三角函数的值域(最值)． 2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．

3．利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)． 失误与防范

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同： ππ

2x－；(2)y＝sin －2x . (1)y＝sin 4 4

3．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝ sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)

一、填空题(每小题5分，共35分) 1． 函数ycos x－______________．

2

ππ

2kπ－2kπ＋，k∈Z 答案 33 1

解析 由题意得cos x≥

2ππ

即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，

33

ππ

2kπ2kπ＋，k∈Z. 故函数定义域为 33

π

2． 将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称

6

π

中心为 4，0 ，则φ＝________________. 5π

答案 kπk∈Z

12

π

x＋＋φ ， 解析 图象F′对应的函数y′＝sin 6 ππ5π

则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπk∈Z. 4612

πππ

0，上单调递增，在区间 ， 上单3． (2011·山东改编)若函数f(x)＝sin ωx (ω>0)在区间 3 32

调递减，则ω＝________. 3答案

2

解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，

ππ

∴当0≤ωx≤0≤x≤y＝sin ωx是增函数；

22ωπ3ππ3π

当ωx≤，即x≤时，y＝sin ωx是减函数． 222ω2ωπ

0， 上单调递增， 由f(x)＝sin ωx (ω>0)在 3 ππ ππ3

上单调递减知，∴ω＝. 在 32 2ω32

ππ4． 设函数f(x)＝3sin 若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2＋4，

成立，则|x1－x2|的最小值为________． 答案 2

ππ2

＋的周期T＝2π×4， 解析 f(x)＝3sin 24πf(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值， T

故|x1－x2|的最小值为2.

25．函数y＝lg(sin x)1

cos x－的定义域为________________．

2

π

2kπ，2kπ (k∈Z) 答案 3

sin x>0

解析 要使函数有意义必须有 ， 1

cos x－≥0 2sin x>02kπ<x<π＋2kπ

即 (k∈Z)， 1，解得 ππ

cos x≥－＋2kπ≤x≤＋2kπ 23 3π

∴2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z，

3

π

∴函数的定义域为 x|2kπ<x≤3＋2kπ，k∈Z .

π

6． 已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若

6

π

x∈[0，，则f(x)的取值范围是________．

23

答案 [，3]

2

解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同， π

∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－．

6πππ5

由x∈[0，]，得－2x－π，

26663

∴－≤f(x)≤3.

2

π

0上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝7． 函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在 4________. 4

答案

3

π

0， 上单调递增，解析 因为f(x)＝2sin ωx (ω>0)在 且在这个区间上的最大值是3，所 4 πππ4

以2sin ＝，且<ω＝4423二、解答题(共27分)

π

8． (13分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝8

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间． ππ

解 (1)令2×＋φ＝kπ＋k∈Z，

82π

∴φ＝kπk∈Z，

4

51

又－π<φ<0，则－<k<－，k∈Z.

443π

∴k＝－1，则φ＝－43π2x－， (2)由(1)得：f(x)＝sin 4 π3ππ

令－＋2kπ≤2x－2kπ，k∈Z，

242π5π

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

88

π5π

＋kπ，＋kπ ，k∈Z. 因此y＝f(x)的单调增区间为 8 8 πππ

2x＋ (－x<)的值域； 9． (14分)(1)求函数y＝2sin 3 66

(2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域． πππ2π

解 (1)∵－<x<，∴0<2x＋

6633

π

2x＋ ≤1， ∴0<sin 3

π

2x＋ 的值域为(0,2]． ∴y＝2sin 3

(2)y＝2cos2x＋5sin x－4＝2(1－sin2x)＋5sin x－4 ＝－2sin2x＋5sin x－2 59sin x－ 2＝－2 4 8

∴当sin x＝1时，ymax＝1，当sin x＝－1时，ymin＝－9， ∴y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．

B组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

π

1． (2012·天津改编)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移所得图象经

4

3π 过点 4，0 ，则ω的最小值是________． 答案 2

π

x－， 解析 根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ω 43π ωπ

0代入得sin 0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0， 将 4 2故ω的最小值为2.

ππ

2． 函数y＝2sin(3x＋φ) (|φ|<)的 …… 此处隐藏：3008字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……