高中数学【配套Word版文档】四.4.3三角函数的图象和性质

§4.3 三角函数的图象和性质

2014高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．

复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．

1． “五点法”作图原理

π，1 、在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、 2

3

π，－1 、 、 2 2． 三角函数的图象和性质

1． 函数的周期性

若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为

x＋T＋φ ，即自变量由x增加到x＋TT是函数的周期． f(ωx＋φ＋T)＝f ω ω

ωω

2． 求三角函数值域(最值)的方法

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

1． 设点P是函数f(x)＝sin ωx (ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴

π

f(x)的最小正周期是________．

4答案 π

1

解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的故f(x)

4π

的最小正周期为T＝4×＝π.

4

π

x＋ 的最大值为______，此时x＝______________. 2． 函数y＝2－3cos 4

3

答案 5 ＋2kπ，k∈Z

4

πππ

x＝－1时，函数y＝2－3cos x＋取得最大值5，此时x＋＝π＋2kπ 解析 当cos 4 443

(k∈Z)，从而x＝＋2kπ，k∈Z.

4

3． 函数y＝sin x＋sin|x|的单调递减区间是_________________________________________．

π3π

2kπ＋2kπ＋，k∈N 答案 22

2sin x，x≥0，

解析 函数y＝

0，x<0，

π3π

2kπ2kπ＋，k∈N. 所以它的单调递减区间是 22

π

4． 函数y＝tan 4－x 的定义域为______________________________．

π

答案 {x|x≠kπ－k∈Z}

4ππ

解析 x≠kπ＋k∈Z，

42π

∴x≠kπk∈Z.

4

5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号)

①若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ，k∈Z； ππ

2x＋ 的图象关于x＝对称； ②函数y＝2cos 3 12③函数y＝cos(sin x)(x∈R)为偶函数； ④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π. 答案 ①②④

ππ

2x＋ ＝ 解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x＝，cos 3 12πππ

2x＋ 的对称轴；命题④：函数y＝sin|x|不是周期函数. cos 0，故x＝y＝2cos 3 212

题型一 三角函数的定义域、值域问题

例1 (1)求函数y＝lg sin 2x9－x的定义域；

π

|x|≤ 的最大值与最小值． (2)求函数y＝cos2x＋sin x 4

思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．

sin 2x>0

解 (1)由 ， 2

9－x≥0 2kπ<2x<2kπ＋π，k∈Z，

得 －3≤x≤3.

ππ∴－3≤x<－0<x<22

∴函数y＝lg sin 2x9－x的定义域为 ππ

{x|－3≤x<－0<x<．

22

π22

(2)令t＝sin x，∵|x|≤∴t∈ －， .

4 22 15t－2＋ ∴y＝－t2＋t＋1＝－ 24

15

∴当t＝ymax＝

24t＝－

12时，ymin＝. 22

1－2π5

∴函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤的最大值为，最小值为.

442

探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于

t的二次函数求值域(最值)．

(1)求函数y＝sin x－cos x的定义域；

ππ x＋π，求函数f(x)在区间 －ππ 上的最2x－＋2sin x－·(2)已知函数f(x)＝cos sin3 4 4 122 大值与最小值．

解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一 坐标系中画出[0,2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在π5π

[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数

44π5π

的周期是2π，所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

441(2)由题意得：f(x)＝x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)

2213

＝xsin 2x＋sin2x－cos2x 22π13

2x－. ＝xsin 2x－cos 2x＝sin 6 22πππ5ππ

－，∴2x－∈ － ， 又x∈ 1226 36 π3

2x－∈ －，1 . ∴sin 6 2 π

故当x＝f(x)取最大值1；

3π3

当x＝－f(x)取最小值－122题型二 三角函数的单调性与周期性

例2 写出下列函数的单调区间及周期：

π

－2x；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin 3

π

2x ，再求单调区间及周期．(2)由y＝tan x的图象→y＝思维启迪：(1)化为y＝－sin 3 |tan x|的图象→求单调性及周期． π

2x－ ， 解 (1)y＝－sin 3

π

2x 的减区间， 它的增区间是y＝sin 3 π

2x 的增区间． 它的减区间是y＝sin 3 πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋k∈Z，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212ππ3π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋k∈Z，

2325π11π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

π5π

kπ－kπ＋ ，k∈Z； 故所给函数的减区间为 1212 5π11π

kπ＋kπ，k∈Z. 增区间为 1212 2π

最小正周期T＝＝π.

2

π kπ－πkπ ，kπ，kπ＋ ，(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是 k∈Z，减区间是2 2 k∈Z. 最小正周期T＝π.

探究提高 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．

(2)对于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ为常数)，其周期T＝

π

，单调区间利用ωx＋|ω|

kπ－π，kππ，φ∈即为其单调区间．对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，22解出x的取值范围，

其单调性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．

(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．