北京市西城区第二十二章一元二次方程课堂练习题及答案

第二十二章 一元二次方程

测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法

学习要求

1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．

课堂学习检测

一、填空题

1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．

2．把2x2－1=6x化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．

3．若(k＋4)x2－3x－2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是______．

4．把(x＋3)(2x＋5)－x(3x－1)=15化成一般形式为______，a=______，b=______，c=______． 5．若(m－2)xm

2

2

x－3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．

6．方程y2－12=0的根是______． 二、选择题

7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )． (1)2x2－3=0 A．1个

2

(2)x2＋y2=5 B．2个

(3)x2 4 5 C．3个

1

2 x2

D．4个 (4)x2

2x2 1

x 5,7x2－6xy＋y2=0，8．在方程：3x－5x=0 ax2 2x x2 0,2x2 3=0，3x

3x2－3x=3x2－1中必是一元二次方程的有( )．

A．2个 B．3个 9．x2－16=0的根是( )． A．只有4 B．只有－4 10．3x2＋27=0的根是( )．

A．x1=3，x2=－3 C．无实数根

三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y2=8．

C．4个 C．±4

B．x=3

D．以上均不正确 12．2(x＋3)2－4=0．

D．5个 D．±8

1

13．(x 1)2 25.

4

一、填空题

14．(2x＋1)2=(x－1)2．

综合、运用、诊断

15．把方程 2x2 2x x化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是______

____，一次项系数是______．

16．把关于x的一元二次方程(2－n)x2－n(3－x)＋1=0化为一般形式为_______________，二

次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______． 二、选择题

18．下列方程：(x＋1)(x－2)=3，x2＋y＋4=0，(x－1)2－x(x＋1)=x，x

1

0, x

1

x2 1 2x 4,(x2 3) 5,其中是一元二次方程的有( )．

2

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2

19．形如ax＋bx＋c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．

A．a是任意实数 B．与b，c的值有关 C．与a的值有关 D．与a的符号有关 20．如果x

1

是关于x的方程2x2＋3ax－2a=0的根，那么关于y的方程y2－3=a的解是2

( )． A． 5

B．±1

C．±2

D． 2

21．关于x的一元二次方程(x－k)2＋k=0，当k＞0时的解为( )．

A．k k

B．k k

C．k k

D．无实数解

三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x－2)(3x＋2)=8．

23．(5－2x)2=9(x＋3)2．

2(x 4)2

24． 6 0.

25．(x－m)2=n．(n为正数)

拓广、探究、思考

26．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的

解为______．

｜

27．如果(m－2)x|m＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．

A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确 28．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．

29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，

求此三角形的周长．

测试2 配方法与公式法解一元二次方程

学习要求

掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．

课堂学习检测

一、填空题

1．x 8x _________=(x－__________)2．

2

3

2．x2 x＋_________=(x－_________)2．

23．x2 px _________=(x－_________)2．

b2x＋_________=(x－_________)． a

5．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是______．

6．一元二次方程(2x＋1)2－(x－4)(2x－1)=3x中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题

2

7．用配方法解方程x2 x 1 0应该先变形为( )．

34．x2

18

A．(x )2

39110

C．(x )2

39

8．用配方法解方程x2＋2x=8的解为( )． A．x1=4，x2=－2 C．x1=10，x2=－8 9．用公式法解一元二次方程x A．x C．x

2

B．(x )

1

3

2

8 9

2

D．(x )2 0

3B．x1=－10，x2=8 D．x1=－4，x2=2

1

2x，正确的应是( )． 4

B．x

2 5

2 5

1 1 3

D．x 10．方程mx2－4x＋1=0(m＜0)的根是( )．

A．C．

1 4

B．D．

2 4 m

2 m4 m 2 24 m

三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x2－2x－1=0．

12．y2－6y＋6=0．

四、解答题(用公式法解一元二次方程) 13．x2＋4x－3=0．

14．3x2 x 2 0.

五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x2＋4x＝－3．

16．5x2＋4x=1．

综合、运用、诊断

一、填空题

17．将方程x2 x 3 2x化为标准形式是______________________，其中a=____ __，b=______，c=______．

18．关于x的方程x2＋mx－8=0的一个根是2，则m=______，另一根是______． 二、选择题

19．若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为( )．

A．－2 B．－4 C．－6 D．2或6 20．4x2＋49y2配成完全平方式应加上( )．

A．14xy B．－14xy C．±28xy D．0 21．关于x的一元二次方程2x 2a 3ax的两根应为( )．

A．

2 a

2

2

2

B．2a，

2

a 2

2 2a

4

三、解答题(用配方法解一元二次方程)

C．D． a

23．x2＋2mx=n．(n＋m2≥0)．

22．3x2－4x=2．

四、解答题(用公式法解一元二次方程) 24．2x－1=－2x2．

25．3x2 1 23x

26．2(x－1)2－(x＋1)(1－x)=(x＋2)2．

拓广、探究、思考

27．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)

28．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，

代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?

测试3 一元二次方程根的判别式

学习要求

掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式为 =b2－4ac， (1)当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b2－4ac______0时，方程没有实数根．

2．若关于x的方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m=______． 3．若关于x的方程x2－2x－k＋1=0有两个实数根，则k______． 4．若方程(x－m)2=m＋m2的根的判别式的值为0，则m=______． 二、选择题

5．方程x2－3x=4根的判别式的值是( )． A．－7 B．25 C．±5 D．5

6．一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． A．7x2－x－1=0 B．9x2=4(3x－1) C．x2＋7x＋15=0

D．2x2 3x 2 0

8．方程x2 2x 3 0有( )．

A．有两个不等实根 B．有两个相等的有理根 C．无实根 D．有两个相等的无理根 三、解答题

9．k为何值时，方程kx2－6x＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．

10．若方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，求正整数a的值．

11．求证：不论m取任何实数，方程x2 (m 1)x

m

0都有两个不相等的实根． 2

综合、运用、诊断

一、选择题

12．方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式是( )．

b b2 4acA．

C．b2－4ac

B．b2 4ac

D．abc

13．若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是( )．

A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1 14．若关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1=0有两个相等的实根，则k的值为( )．

12或 23

15．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围

是( )．

A．－4

B．3

C．－4或3

D．

33

B．m 且m≠1 2233

C．m 且m≠1 D．m

22

16．如果关于x的二次方程a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数a，b，c

为边长的三角形是( )． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 二、解答题

17．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解．

18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．

19．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．

20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的

实根．

A．m

拓广、探究、思考

21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋

d=0中至少有一个方程有实数根．

测试4 因式分解法解一元二次方程

学习要求

掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．

课堂学习检测

一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x(x－3)=0．______ 2．(2x－7)(x＋2)=0．______ 3．3x2=2x．______ 4．x2＋6x＋9=0．______ 5．2x2 2x 0.______ 6．(1 2)x2 (1 2)x.______

7．(x－1)2－2(x－1)=0．______． 8．(x－1)2－2(x－1)=－1．______ 二、选择题

9．方程(x－a)(x＋b)=0的两根是( )． A．x1=a，x2=b B．x1=a，x2=－b C．x1=－a，x2=b D．x1=－a，x2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．

A．x2=x．两边同除以x，得x=1．

B．x2＋4=0．直接开平方法，可得x=±2．

C．(x－2)(x＋1)=3×2．∵x－2=3，x＋1=2， ∴x1=5， x2=1．

D．(2－3x)＋(3x－2)2=0．整理得3(3x－2)(x－1)=0， x1

2

,x2 1. 3

三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x(x－2)=2(x－2)．

12．3x2 x.

*13．x2－3x－28=0． 14．x2－bx－2b2=0．

*15．(2x－1)2－2(2x－1)=3． *16．2x2－x－15=0．

四、解答题

17．x取什么值时，代数式x2＋8x－12的值等于2x2＋x的值．

综合、运用、诊断

一、写出下列一元二次方程的根

18．2x 2x 0．______________________． 19．(x－2)2=(2x＋5)2．______________________． 二、选择题

20．方程x(x－2)=2(2－x)的根为( )．

A．－2 B．2 C．±2 21．方程(x－1)2=1－x的根为( )．

A．0 B．－1和0 C．1

2

D．2，2 D．1和0

313

22．方程(x )2 (x )(x ) 0的较小的根为( )．

424315A． B． C．

428

三、用因式分解法解下列关于x的方程

23． 5x

D．

3 4

12x. 2

24．4(x＋3)2－(x－2)2=0．

a2

25．x ax 26．abx2－(a2＋b2)x＋ab=0．(ab≠0) b2 0.

四、解答题

27．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0．

(1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m的值．

2

测试5 一元二次方程解法综合训练

学习要求

会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．

课堂学习检测

一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x－1)2－1=0．__________________

2．(2x＋1)2－2(2x＋1)=3．__________________ 3．3x2－5x＋2=0．__________________ 4．x2－4x－6=0．__________________ 二、选择题

5．方程x2－4x＋4=0的根是( )． A．x=2 B．x1=x2=2 C．x=4 D．x1=x2=4

1

6．x2 0.7 2.5的根是( )．

5A．x=3

2

B．x=±3 C．x=±9 D．x

7．7x x 0的根是( )． A．x

7

B．x1 0,x2 D．x 7

7 C．x1=0，x2

8．(x－1)2=x－1的根是( )． A．x=2 B．x=0或x=1 C．x=1 D．x=1或x=2 三、用适当方法解下列方程 9．6x2－x－2=0． 10．(x＋3)(x－3)=3．

11．x2－2mx＋m2－n2=0． 12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)

四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x2=x．(最佳方法：______)

14．x2－2x=224．(最佳方法：______)

15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______)

16．6－2x2=0．(最佳方法：______)

17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)

18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)

19．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)

综合、运用、诊断

一、填空题

x2 7x 8

20．若分式的值是0，则x=______．

x 1

21．关于x的方程x2＋2ax＋a2－b2=0的根是____________． 二、选择题

22．方程3x2=0和方程5x2=6x的根( )．

A．都是x=0 B．有一个相同，x=0 C．都不相同 D．以上都不正确 23．关于x的方程abx2－(a2＋b2)x＋ab=0(ab≠0)的根是( )．

A．x1

2b2a

,x2

ab

B．x1

ba

,x2 ab

a2 b2

C．x1 ,x2 0

三、解下列方程

24．(x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2．

26．2x 3x 2 0.

四、解答题

28．已知：x2＋3xy－4y2=0(y≠0)，求

2

D．以上都不正确

25．(y－5)(y＋3)＋(y－2)(y＋4)=26．

27．kx2－(k＋1)x＋1=0．

x y

的值． x y

29．已知：关于x的方程2x2＋2(a－c)x＋(a－b)2＋(b－c)2=0有两相等实数根．

求证：a＋c=2b．(a，b，c是实数)

拓广、探究、思考

30．若方程3x2＋bx＋c=0的解为x1=1，x2=－3，则整式3x2＋bx＋c可分解因式为__________

____________．

31．在实数范围内把x2－2x－1分解因式为____________________．

b b2 4ac

,请你计算x132．已知一元二次方程ax＋bx＋c=0(a≠0)中的两根为x1,x2

＋x2=____________，x1·x2=____________．

2

并由此结论解决下面的问题：

(1)方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．

(2)方程2x2＋mx＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______． (3)若方程x2－4x＋3k=0的一个根为2，则另一根为______，k为______．

(4)已知x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： 1122① ; ②x1③｜x1－x2｜； x2; x1x2

22

④x1x2 x1x2;

⑤(x1－2)(x2－2)．

测试6 实际问题与一元二次方程

学习要求

会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．实际问题中常见的基本等量关系。

(1)工作效率=_______；(2)路程=_______．

2．某工厂1993年的年产量为a(a＞0)，如果每年递增10％，则1994年年产量是______，1995年年产量是_________，这三年的总产量是____________．

3．某商品连续两次降价10％后的价格为a元，该商品的原价为____________． 二、选择题

4．两个连续奇数中，设较大一个为x，那么另一个为( )． A．x＋1 B．x＋2 C．2x＋1 D．x－2

5．某厂一月份生产产品a件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三个月的产品总件数是( )． A．5a B．7a C．9a D．10a 三、解答题

6．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．

7．直角三角形周长为2 6，斜边上的中线长1，求这个直角三角形的三边长．

8．某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二、三月份的月平均增长率．

9．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．

10．如下图甲，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，如下图乙，地毯中央的矩形图

案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽．

综合、运用、诊断

一、填空题

11．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009

年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为____________． 12．一种药品经过两次降价，药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价

的百分率是____________．

13．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图

所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为_______________．

二、解答题 14．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007

年，每年盈利的年增长率相同． (1)该公司2006年盈利多少万元?

(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?

15．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧

内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2

?

16．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000

元及所得利息又全部按一年定期存入银行．若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元．求这种存款方式的年利率(问题中不考虑利息税)．

17．某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增

加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?

18．已知：如图，甲、乙两人分别从正方形场地ABCD的顶点C，B两点同时出发，甲由C

向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，若正方形

场地的周长为40km，问多少分钟后，两人首次相距2

km?

19．(1)据2005年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万km2，

其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万km2．问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方千米?

(2)某省重视治理水土流失问题，2005年治理了水土流失面积400km2，该省逐年加大治理力度，计划2006年、2007年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2007年年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324km2． 求该省2006年、2007年治理水土流失面积每年增长的百分数．

答案与提示

第二十二章 一元二次方程

测试1

1．1，最高，ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)．

2．2x2－6x－1＝0，2，－6，－1． 3．k≠－4．

4．x2－12x＝0，1，－12，0．或－x2＋12x＝0，－1， 12，0 5．－2． 6．y 23. 7．A． 8．A． 9．C． 10．C．

11．y1＝2，y2＝－2． 12．x1 3 2,x2 3 2. 13．x1＝－11，x2＝9． 14．x1＝0，x2＝－2． 15．2x2 (2 1)x 0,2 1. 16．(2－n)x2＋nx＋1－3n＝0，2－n，n，1－3n.

(或(n－2)x2－nx＋3n－1＝0，n－2,－n，3n－1.) 17．1． 18．A． 19．C． 20．C． 21．D． 22．x1.2

423

23．x1 ,x2 14. 24．x1＝1，x2＝7． 5

25．x1 n m,x2 n m. 26．k＝－1，x＝2. 27．C． 28．m＝1不合题意，舍去，m＝－1．

29．∵3<k<7，k为整数，∴k可取4，5，6，当k＝5时方程成立，

∴三角形边长为2cm，5cm，5cm，则周长为12cm．

测试2 p2pb2b93

1．16，4． 2．, 3．, 4．2,

4a2a2164

b b2 4ac2

(b 4ac 0). 6．2， 10，－3． 5．x

2a

7．C． 8．D． 9．B． 10．B． 11．x 1 2. 12．y 3 3.

13．x1 2 7,x2 2 7. 14．x1 3,x2 15．x1＝－1，x2＝－3. 16．x1 1,x2

2

. 3

1 5

17．x2 (1 23)x 3 0,1,1 2,3 3. 18．2,－4 19． D． 20． C． 21． B． 22．x1

2 2 ,x2 33

23．x1 m m2 n,x2 m m2 n.

24．x1

1 1 ,x2 25．x1 x2

2

,x2 2 27．x1 1,x2

1 m

28．(x－2)2＋1，x＝2时，最小值是1．

测试3

1．(1)>(2)＝(3)<． 2．－1． 3．≥0． 4．m＝0或m＝－1． 5．B． 6．C． 7．B． 8．D．

9．(1)k<1且k≠0； (2)k＝1； (3)k>1．10．a＝2或3． 11． ＝m2＋1>0，所以方程有两个不相等的实数根． 12．C． 13．D． 14．C． 15．B． 16．C．

1

17．m 4,x1 x2 18．提示： ＝－4(k2＋2)2 <0．

2

19．2． 20．∵m<0，∴ ＝m2＋4－8m>0．

21．设两个方程的判别式分别为 1， 2，则 1＝a2－4c， 2＝b2－4d．

∴ 1＋ 2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0．

从而 1， 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．

测试4

26．x1 2

27

1．x＝0，x2＝3． 2．x1 ,x2 2. 3．x1 0,x2

23

4．x1＝x2＝－3． 5．x1 0,x2 6. 6．x1 0,x2 2 3. 7．x＝1，x2＝3． 8．x1＝x2＝2． 9． B． 10． D．

2

3

13．x1＝7，x2＝－4. 11．x1 2,x2 15．x1＝0，x2＝2． 17．x1＝3，x2＝4．

12．x1 0,x2

3 14．x1＝2b，x2＝－b．

5

16．x1 ,x2 3.

218．x1 0,x2 2.

19．x1＝－1，x2＝－7．

20．C． 21．D． 22．C． 23．x1＝0，x2＝－10. 25．x1

4

24．x1 8,x2

3

aaba b,x2 b. 26．x1 ,x2

ab22

27．(1) ＝(m2－2)2．当m≠0时， ≥0；

(2)(mx－2)(x－m)＝0，m＝±1或m＝±2．

测试5 1．x1 1 3．x1

,x2 1 33

2．x1＝1，x2＝－1．

4．x1 2 ,x2 2 .

2

,x2 1.

3

5．B． 6．B． 7．B． 8．D．