2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版(2)

9

π解析：如图，

2

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

设球O的半径为R，则AH＝

2

2RR，OH＝. 33

＝2.3，

又∵π²EH＝π，∴EH＝1.

y＝

1

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.420

9 R 2

∵在Rt△OEH中，R＝ +12，∴R＝.

8 3

9π2

∴S球＝4πR＝.

216．

答案：解析：∵f(x)＝sin x－2cos x

x－φ)，

其中sin φ

＝，cos φ

＝55π

当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值．

2ππ

即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．

22

π

∴cos θ＝cos ＝－sin φ

＝ .

5 2

2

2

＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)

＝1.6.

由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有

77

的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有1010

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1 由已知可得

n(n 1)

d. 2

3a1 3d 0,

解得a1＝1，d＝－1.

5a 10d 5, 1

111 11

＝ ，

a2n 1a2n 1 3 2n 1 2n 2 2n 32n 1

故{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)知

的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好． 19．

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB， 所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C. 又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以OC＝OA1

又A1C

A1C＝OC＋OA1，

2

2

从而数列

1

的前n项和为

a2n 1a2n 1

2

1 111111

2 11132n 32n 1

n＝. 1 2n

18．

解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC

ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC³OA1＝3. 20．

x

解：(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4. 故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.

x2

(2)由(1)知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x，

1

x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋

20

3.0＋3.1＋3.2＋3.5)

4

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)² ex

1 . 2

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

－2

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)． 21．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2

(左顶点除外)，其方程为

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，

故Rt△BCF

23． 解：(1)将

2

. x 4 5cost,22

消去参数t，化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，

y 5 5sint

2

xy

=1(x≠－2)． 43

22

即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0. 将

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

22

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)＋y＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|

＝ x cos ,222

代入x＋y－8x－10y＋16＝0得ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

y sin

所以C1的极坐标方程为 2

ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

22

(2)C2的普通方程为x＋y－2y＝0.

|QP|R

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则 ，可求

|QM|r1

得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)． 由l与圆M

x2y2 4 当k

＝时，将y ， x代入 =1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2

＝

43474

18

所以|AB|

|x2－x1|＝.

7

1818当k

＝|AB|＝.综上，|AB|

＝|AB|＝.

77请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所

做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．

(1)证明：连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂线， 所以BG

＝1，解得k

＝ x2 y2 8x 10y 16 0,由 2 2

x y 2y 0 x 1, x 0,解得 或

y 2.y 1

所以C1与C2

交点的极坐标分别为π π ， 2, . 4 2

24．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

1

5x,x , 2

1

则y＝ x 2, x 1,

2

3x 6,x 1.

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)当x∈

a1

, 时，f(x)＝1＋a. 22

不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

5

4a a1

, 都成立．故 ≥a－2，即a≤.

32 22

4

从而a的取值范围是 1, .

3

所以x≥a－2对x∈