数值分析第四章小结：数值积分和数值微分

数值分析

数值分析与数值微分 第四章小结，其余均小结未讲

4.1简介

1，总原理：

= （ ）

=0

2，m级精度：

任意m阶多项式成立，至少有一个m+1阶不成立

3，插值型求积公式：将f(x)用插值法换成L（x），

故 = ( ) ,

余项R f =

4，余项：

通式

+1 , ∈( , ) R[f]= +1 =0 （ ）= +1 +1 ！ +1（ ） ， ∈( , )

5，收敛性和稳定性

4.2牛顿-科特斯公式

1，等距离节点:步长h，区间[a,b]， =a+kh

=（ ） = （ ），

= 0 =0 dt，x=a+th

≠ = 科特斯公式系数

n=1， 01=； 11= 2

12 1 1n=2， 02=6= 22； 12=3——辛普森公式

n=3， 0 3 2=8= 3； 1

1 3 3 =8= 2； 3 3 n大于等于8后 出现负值

2，精度：n为偶数，牛顿-科特斯公式至少n+1次代数精度

3，辛普森公式余项：R[f]=K

4.3复合求积公式

1，复合梯形求积公式：

= [ + ( +1)]=[ +2 + ( )] =0 =1 1 1(4)( ), ∈（ ， ）；K= 14！ 5120 = 4(2) 180

Rn f =

2，复合辛普森公式：

b a 12 2 "( ), ∈（ ， ）

数值分析

= [ +4 +1 + ( +1)]=[ +4 +1 +2 + ( )] 66 =0 =1 =1 1 1 1

Rn f = b a 4

180 2 （4）( ), ∈（ ， ）

4.4，龙贝格公式

1，梯形递推公式

n 11 h T [f(xi) 2f(xi 1) f(xi 1)] 2n 2i 02 2

1n 1 h hn 1 [f(xi) f(xi 1)] f(xi 1) 22i 0 2 2i 0

1hn 1

f(xi 1). 2Tn 2 i 0

1h1T2n=Tn+ （ +） =0 1

2，外推算法

T(h)= I+α1 2+α2 4+ +αl 2

T(h/2)= I+α1（2）+α2（2）+ +αl（2）

S(h)=[4T（h/2）—T（h）]/3

C(h)=[16S(h/2)-S(h)]/15

R(h)=[64C(h/2)-C(h)]/63

3，龙贝格算法

理查森外推加速法

Tm(h)=4

4 1 2 4 2 1 1 ,m=1,2,3 24 1 1

4.6，高斯求积公式

1，n+1个节点的代数精度最高为2n+1次

2，带权积分/高斯型求积公式

≈ =0 （ ），K=0,1,2 n,其中 为高斯点

直等条件：当代入拉氏函数变换后，余项 +1 +1 （ ） ，当n+1！ 1

f(x)∈ 2 +1， +1 为n次多项式记作p（x），则当 +1 与p（x）带权正交，此时余项为0，xk为高斯点。

3，Ak全正，高斯求积公式稳定

4，高斯-勒让德求积公式

条件：权函数为1，区间[-1,1]。

Pn+1（x）为勒让德多项式，零点为高斯点，及p1(x)=x，零点为0，高斯点为0；p2(x)=2x2 2零点2x2 2=0，X1,2= 3131

数值分析

22 +3 +1 ! 2 +2 余项：Rn= ( ), 2 +3 2 +2 ! ∈( 1,1)

5，高斯-切比雪夫多项式 公式；

2 ( );Xk=cos[π(2k-1)/2n] = =1 ( )+22 2 ! 1 2 [-1,1]

4.8 数值微分

1，中点公式

G(h)= + ( ）

2 ,泰勒展开有fa +′ h2f′"(a)+3! 4(5) ( )+ ； 5!

从截断误差看，h应取小；从舍入误差看，h不能太小。 2，插值型求导公式

只考虑节点处的导数值，

+1 ( )′Y=Pn(x)；f’(x)=P’n(x)+ +1 +1!