函数项级数一致收敛的积分判别法

昌吉学院学报

2009年第 6期

函数项级数一致收敛的积分判别法孙德荣(昌吉学院数学系新疆摘

昌吉 831100)

要:在数值级数的收效判别法中,正项级数的积分判别法解决了一类正项级数与无穷积分的收敛判

别问题,在此基础上,本文进一步研究函数项级数一致收效的积分判别法,并以此解决一类函数项级数与含参变1无穷积分的一致收敛判别问题"关键词:函数项级数;一致收敛;积分判别法

中图分类号:G 42 6

文献标识码:A

文章编号:1671一6469= 2009)06一0096一03

1

前言

众所周知,数学分析中己经证明的函数项级数的一致收敛判别法与数项级数的收敛判别法有很多类似之处,在对函数项级数的一致收敛判别法的探讨中,许多学者也往往仿照数项级数的收敛判别法去

寻求函数项级数的一致收敛判别法,并且找到了许多与数项级数的收敛判别法相类似的函数项级数的一致收敛判别法"这里笔者经过对正项级数积分判别法的研究,给出了函数项级数的一致收敛的积分判别法,并对其进行了证明和应用"2正项级数积分判别法的回顾

文献 7 2 1给出的正项级数积分判别法如下:

敛或同时发散"

定,设为十)上非减数么项数 f n与常分 ( )同收理了[伪的负函,那正级习 )反积厂f *时, l ( x

0-讨级叠杨的散"论数蔽敛性解首研反积厂蔽 d的敛散性,由于先究常分杨 x厂万 d杨xr斗"才了~ ! ( 1~万,

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当p> 1时收 p兰1发敛,散"根理1知据定级数艺 n

l

(In n)p

在 p> 1时收敛, p三 1发散"#

由此可见,以定理 1为依据,利用积分的便利条件可以判断某些正项级数的敛散性"函数项级数一致收敛的积分判别法仿照定理 l我们可以给出函数项级数一致收敛的积分判别法如下:定理 2设 f x,必为区域 R一{(,刃}a二 x兰 b, 1兰 y<+ c}上的非负函数,如果 f (,必 ( x o x

在区间 1,+ c )上关于 y为单调减函数,那么函数项级数 1 o必如在区间 1,司上具有相同的一致收敛性" a

习f( x,n)

与参量常分 (二含变反积厂f,

收稿日期:2009一10一25作者简介:孙德荣(1965一),女,江苏宿迁市人,昌吉学院数学系,研究方向:学数论,图论及其应用"

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为了证明定理 2我们首先给出文献 7 1]中的以下两个定理:定理 3 (函数项级数一致收敛的柯西准则 )

函项级习/, ( )在集D上致收充数数 x数一敛的要条件对任是:意给定的正数"总某一正整,存在数 N,使

得当 n> N时,对一切 x任 D和一切正整数p,都有}u,. )+ u,:, (x )+,+ u,,+, (二}<" (x十 )定理 4 (含参变量反常积分一致收敛的柯西准则)

在某一实数 M>",使得当 A,, A:> M时,对一切 x 1[, b,都有 a j

含变反积{一二: b2一收的要件:任给的数存参量常分:, (,y)!在一上致敛充条是意定正一"对

}二<一伽,,,叫定理 2的证明:

由假设 f x,刃为区域 R一{(,刃 !"三 x二 b, 1二 y<+ c}上的非负函数,并且 f x,必关于 ( x o (

y为[1,+ c )上的减函数,对区间巨,司上任意固定的 x以及任意 n全 2的自 o然数,我们有

f(,#几二, !二二二)!丁f(,,; f(,一, 1若参量常分 (二["一收,则定 4可,对意定正 )含变反积厂f,,)!在上致敛由理得任给的数", a(l)

,总存在某一实数 M> 1,使得当 n> M+ 1时,对一切 x任 7,司和一切正整数 P,都有 a

{ ( !卜"价x,#

由(1式,对一切 x任[a,司有 )

}f (, n)+ f (x, n+ 1)+ x

户汁户

# f,, 0 P<{, 1 x,刃 0+ (+) l ( f勿< -#

由定理3可知:函项数习f(,"数级 x )在区 1,习上致收间"一敛" ) 2若函项级艺f(,, )在区 a,司上致收由数数 x间[一敛,定理3可得:对任意给定的正"数,总存在某一正数 N,使得当 n> N时,对一切 x e D和一切正整数 p,都有}f x, n+ f x, n+ 1+,+ f x, n十P )}<: . ( ) ( ) (而对任意的 A l,A:> N,令 n"一 1 l8+ 1,街+ P一 1 Z8+ 1 (这样的正整数 n" P总是存在 A A和的),由(l式,对一切 x任仁,司有 ) a}阵,,,叭户+ 1!I1J A I

J !工, y

如

V

J l

f (x,必办 I<}f (x,n"+ f (x,n+ 1+,+ f (x, n"+ P )}< c . ) 0 )

由定理 4例2证明

可:参量常分犷, !!在"一收"知变反积丁f含 x (, a[上致敛#设 f x,刃 (厂f,,, !在1 -上致敛 x (" 2一收#,一 l(+Xy,,证含变积步 1 ZZ明参量分 n j令,,(一,n(-一,,n一U X,赤+,2,一易,对个#u" )为[0, l上的增函数,故有见每 (xU( !U",一 n(,,,.X, (-赤 1+nZ l

一 1,2,,

又当 t全 1时,又不等式 In (1+ t, )< t,所以

u,.x)二奥n(1+二 ( I, )<

n 2

n=

1,2,,

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另外,对任意的 (,必任R一{(,刃 1"三 x三 1, 1三 y三十二},有 x x

以敛数为 T,的级,推艺/")在1上致敛"收级习赤习!(优数得 (二"一收,12f(,, )一 I二/)之"二兴n(1+,,,y

并且对任意固定的 x任[o, 1 8,几 (,必二",即 f (二是区间[1,+ c )上的减函数,因此由定 x,必 o

理,含变积厂f,,)!在1,:上致敛 2知参量分 ( x"一收",例3设s(一艺,~,证明:s(在区间(,+二)连" ) x ) x 0续证明首先对任意取定一点 x"任 (o,+ c ),都存在占 o,使得 x"任,,十 c ) .我们只要证明 o>

o S (x )在 x连续即可" 0令了,必一岁, x (, x任,,十c ) .由于 o

}f (,必 1一岁, x

勿e,

, x任口,十c ) ody在 x e 1,十o )上一致收敛" a o</ .~ _, y !!卞 _

x<{并无积肠八,收,所含变积琴且穷分敛以参量分 ye,又因为几 (,刃一 -娜一笋 )< o, (,必任R x l ( x

,刃}O兰二

!)洲 1 -下O

,即对任意固

定 x任匾,十c ), f x,必 o (

艺,~在x任 1,十 )上致收,利用函级数的质可得函, c o是一敛的数项性推数5, ( ) x" 1拍含暗:

一,关,在间告 o,上单递的定 2知数级,于区 7,+c是调减,由理,函项数一名,,二,l 1升一去

在区 e 1,+ c )连续,从而s(=艺,~十#x在区间x任1,十 )也连因 (劝在间x" o ) x s ( )" c o续,此s0 x连续"由 x在区间 (,+ c )的任意性可知:S (x )在 (,十c )上连续" 0 0 o 0 o由此可见,以定理 2为依据,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质,也可以利用积分的便利条件判断某些函数项级数的一致收敛性"参考文献:

[1 2华东师范大学数学系.数学分析(下册)[明 .北京:高等教育出版社, 200 . 1(责任编辑:代琴 )