材料力学刘冯文第五版 附录1-几何性质

本章重点1.静矩与形心 2.惯性矩,极惯性矩和惯性积 3.平行移轴公式,转轴公式

关键概念静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、 主惯性轴、形心主惯性轴

目录§ -1 静矩和形心 § I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积 § -3 平行移轴公式 § -4 惯性矩和惯性积的转轴公式. 截面的主惯性轴和主惯性矩。

重心位置的确定xc x P i i

由合力矩定理yc y P i i

Pxc xi Pizc z P i i

P

P

P

设： Pi mi g , P Mg 其中 m , M i 分别为微元体的质量和物体的总质量， g 为重力加速度。则有： xi Pi xi mi gxc i

Pi

Mgi i

x m i

i

Mi

Pi

xc

x m M

yc

y m M

zc

z m M

i

P

物体质心坐标的一般计算公式。4

对均质物体xi mi xi V xc M V

对等厚薄板

xi t A tA

xi A Ay

xc

xdA AdAC

§ -1 静矩和形心一. 基本概念 1. 静矩 (或一次矩) y x dA — 微面积对 y 轴的静矩

y

y dA — 微面积对 x 轴的静矩

O

S x A y d A — 整个平面图形对 x 轴的静矩

S y Ax d A — 整个平面图形对 y 轴的静矩

x x

x

常用单位: m3 或 mm3 。 数 值: 可为正、负或 0 。 2.形心坐标公式

S y Ax d A

S x A y d A

A A 3.静矩与形心坐标的关系

xd A S x A

y

y

A

yd A A

Sx A

Sy A x

Sx A y6

推论:截面对形心轴的静矩恒为零。反之,截面对某轴 的静矩为零,则此轴一定过形心,是形心轴。

二. 讨论： 1.组合截面的静矩 根据静矩的定义: 整个平面图形对某轴的静矩应等于 它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和,即：

S y Ai xii 1

n

S x Ai yii 1

n

式中： xi , yi, Ai 分别是第i个简单图形的形心坐标和面积 2.组合截面的形心坐标公式

x

Sy A

i 1 n

Ai x ii 1

n

,

Ai

S x i 1 y n A Aii 1

Ai y i

n

§ I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积1.极惯性矩(或截面二次极矩)2 dA Ip A

y

dA

2.惯性矩(或截面二次轴矩)

I y A x d A2

I x A y d A2

由于 2 y 2 x 2所以

x O 2 I p A d A A ( y 2 x 2 ) d A I x I y

y

x

即截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的 任意两正交坐标轴的惯性矩之和。

可知 I p , I x , I y 均为正

3.惯性积

I xy xy d AA

y

dA

结论：截面对于包含对称轴在内的 一对正交轴的惯性积为零。 4.惯性半径iy Iy , ix A Ix A

y

(其值可为正、为负或为零)

O

x

x

回转半径(惯性半径)Jz z 或 J z m z2 m9

(单位:长度的一次方)

例：试计算

矩形截面对于其对称轴(即形心轴) x 和 y 的惯性矩。解：取平行于x 轴的狭长条 则 dA = bdy2 h 2 h 2

y3

h

I x A y d A

bh by d y 122

y C x b10

bh Ix 12

3

同理

hb Iy 12

3

思考题I:平行四边形对形心轴 x 的惯性矩应怎样计算？

dy

§ -3 平行移轴公式1.平行移轴公式推导 图示面积为 A 的任意形状的平面，c 为其形心, xc , yc 为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴 为 x,y , 形心 c 在 oxy 坐标系下的坐标为 (a , b)。yx C y x yc xc dA yc

任意微面元 dA 在两坐标系 下的坐标关系为：xc

x xC b y yC a11

O

b

2 I x y d A yc a d A 2 A A

yc d A 2a yc d A a 2 2 A A

A

dA

I xc S xc a 2 A

I xc a A2

同理, 有： 注：

I y I yc b A I xy I xc yc abA2

J z J zc md

2

式中的 a、b 代表形心位置坐标值,有时可能取负值。12

§ -4 惯性矩和惯性积的转轴公式. 截面的主惯性轴和主惯性矩一.转轴公式y

新坐标系 ox1y1 旧坐标系 o x y

x1 x cos y sin A dA

y1 y cos x sin C

E

将上述关系代入 平面图形对 x1 轴的惯性矩：D x

y

O

x

B

I x1 y d AA 2 113

I x1 cos2 y 2 d A sin 2 x2 d A 2 sin cos xy d AA A A

I x cos2 I y sin 2 2I xy sin cos 利用三角函数整理上式,得转轴公式 ：I x1 同理得：

Ix Iy 2

Ix Iy 2

cos 2 I xy sin 2

I x1 I y1 I x I y I po2 cos 2 I xy sin 2

I y1

Ix Iy

I x1 y1

2 Ix Iy 2

Ix Iy

sin 2 I xy cos 2 14

规定:上式中的 的符号为: 逆时针为正,顺时针为负。

讨论： 将上述转轴公式中的前两式相加可得：

I x1 I y1 I x I y I po即: 截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴 的两惯性矩之和为一常数,并等于截面对该坐标原点 的极惯性矩。二.截面的主惯性轴和主惯性矩 从惯性积的转轴公式可推知,随着坐标轴旋转, 惯性积将随着 角作周期性变化,且有正有负。 因此,必有一特定的角度 0 ,使截面对与该角 对应的新坐标轴 x0、y0 的惯性积为零。 依此进行如下定义：15

1. 主惯性轴: 当平面图形对某一对正交坐标轴 y0、z0 的 I x y = 0 时, 0 0 则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。 推论: 具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面 图形的主惯性轴。 2. 主惯性矩: 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 3. 形心主惯性轴: 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 可以证明: 任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。

4.形心主惯性矩: 平

面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 16