【高考冲刺押题】2013高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的坐

向量的坐标运算

【考点导读】

1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.

3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.

【基础练习】

1 若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB =(3,2)--

2 平面向量,a b 中，若(4,3)=-a ，b =1，且5?=a b ，则向量b =4

3(,)55- 3.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 4.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)=-b x ，且⊥a b ，则x =1

5.已知向量(cos ,sin )θθ=a ,

向量1)=-b 则|2|-a b 的最大值，最小值分别是4,0

【范例导析】

例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=a b c ，回答下列问题：

（1）求满足=+a mb nc 的实数m ,n ；

（2）若()()//2+-a kc b a ，求实数k ；

（3）若d 满足()()//-+d c a b

，且-=d c ，求d

分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.

解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=

所以???=+=+-2234n m n m ，得??

???==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a

()()()13

16,025432-=∴=+--+?∴k k k （3）设(),d x y =，则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d

由题意得()()()()???=-+-=---5140124422y x y x

得???-==13y x 或???==3

5y x ∴()()3,153d =-或，

点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

例2.已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD 及点D 的坐标、

分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.

解：设点D 的坐标为(x ,y )

∵AD 是边BC 上的高，

∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC

又∵C 、B 、D 三点共线， ∴BC ∥BD 又AD =(x －2,y －1), BC =(－6,－3)

BD =(x －3,y －2)

∴???=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59,y =5

7 ∴点D 的坐标为(

59，57)，AD 的坐标为(－51，52) 点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.

例3．已知向量33cos ,sin ,cos ,sin ,2222?

???==- ? ?????x x x x a b 且??

????∈2,0πx 求（1）?a b 及+a b ；（2）若()2λ=?-+f x a b a b 的最小值是23-

，求λ的值。 分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.

解：（1）33cos cos sin sin cos 22222???=+-= ???

x x a b x x x

，+=a b .cos 22cos 22x x =+=

例2

0,,2cos 2π??∈∴+=????

x a b x 。 （2）()()12cos 21cos 4cos 2cos 42cos 22

2---=--=-=λλλλx x x x x x f []1,0cos 2,0∈∴??

????∈x x π （1） 当[]1,0∈λ时，()12,cos 2min --==λλx f x 25,23122=∴-

=--∴λλ （2） 当0<λ时，()231,0cos min -

≠-==x f x （3） 当1>λ时，()1852341,1cos min

<=∴-=-==λλx f x 综上所述：2

5=λ。 点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论. 反馈练习：

1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （A ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向

2.与向量a =71,,22?? ???b =??? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是4343,,5555????-- ? ?????或

3.点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（10，－5）

4.已知向量(4,6),(3,5),OA OB ==且,//,OC OA AC OB ⊥则向量OC 等于??

? ??-214,72

5.已知向量5(1,2),(2,4),||(),2

a b c a b c a c ==--=+?=若则与的夹角为120° 6.若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状____直角三角形_____

7.已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量1)b =-，则2a b -的最大值是4

8.若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是3π

9.已知(2,1)a =与(1,2)b =，要使a tb +最小，则实数t 的值为45t =-

10.已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1）若|c |52=，且//c a ，求c 的坐标；

（2）若|b |=

,2

5且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ

. 解：（1）设()c =x,y ，由//c a 和c =可得： ???2002122=+=?-?y x x y ∴ ???42==y x 或 ?

??42-=-=y x ∴(2,4)c =，或(2,4)c =--

（2） (2)(2),a b a b +⊥-(2)(2)0a b a b ∴+-= 即222320,a a b b +?-=

222||32||0a a b b ∴+?-= ∴ 5253204a b ?+?-?=， 所以52

a b ?=- ∴ cos 1,||||

a b a b θ?==-? ∵ ],0[πθ∈ ∴ πθ=.

11.已知点O 是，，内的一点，0090BOC 150AOB =∠=∠?ABC

OA ,OB ,OC ,a b c ===设且2,1,3,a b c ===试用,a b c 和表示

解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系.

由OA=2，0120=∠AOx ，所以()()

,31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ， 易求()()3,0C 1-0B ，，

，设 ()

()().31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121?????==?

????==+=+=，，

，，即OC OB 13a c =-. 12.已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<

(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；

(2)若a b a b +-与k k 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)

解：（1）证明：∵()()22

a b a b a b +-=-2222(cos sin )(cos sin )0ααββ=+-+= ∴a b + 与a b -互相垂直

（2）a b +k (cos cos ,sin sin )αβαβ=++k k

；

a b -k (cos cos ,sin sin )αβαβ=--k k 第11题

a b +k =

a b -k =

=

cos()0βα-=，2πβα-=