湖北汽车工业学院线性代数答案 04 矩阵定义与运算

湖北汽车工业学院线性代数习题答案答案

4 矩阵定义与运算

一、 判别正误

x3 1 y1 2x1

1． 变换 y2 x1 2x2 x3 是线性变换.

y 3x2 2x3 2 3

2． 若A(A E) 0，则A 0或A E.

3．设A 、B都是n阶方阵 ,则(A B) A AB B . 4．若A (aij)n n,则( A) A . 二、已知两个线性变换

( )

( )

( ) ( )

x y y

x y y y ,

x y y y

求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换

y z z

y z z , y z z

.

x1 201 y1 y1 3

x 232y 解: 由题设, 有 2 2 y2 2 x 415 y y 0 3 3 3

1 x1 201 310 z1 6

01 z2 12 4故所求线性变换为 x2 232 2

x 415 0 13 z 10 1 3 3 13 z1 x1 6

x 12 49即 2 z2 x 10 116 z 3 3

三、计算下列乘积：

0 z1

01 z2

13 z3 3 z1 9 z2 16 z3

1

a a

1． , 2． , , 3． x ,x ,x a a

a a 2 24 解: 1 1,2 12 .

3 36

3

2. 1,2,3 2 (10)

1

a x a x a x

3. 原式 a11x1 a22x2 a33x3 (a12 a21)x1x2 (a13 a31)x1x3 (a23 a32)x2x3

222

湖北汽车工业学院线性代数习题答案答案

11 1

四、设A 11 1 ,

121

1 AB 解: 因为 1

1 23 1

B 124 求3AB 2A及ATB.

1 32 1 1 123 175

1 1 124 175

21 1 32 0313

175 11 1 51917

5 2 11 1 51917 ． 所以 3AB 2A 3 17

0313 12 1 2537 11 1

T

12 , 所以有 又因为 A 1

1 11 11 123 119 1 T

AB 112 124 2 211 ．

1 11 1 32 1 7 5

T

五、设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明BAB也是对称阵.

TT

证明: 设C BAB. 因为A为对称阵. 所以 A A. 于是有

CT (BTAB)T (AB)T(BT)T BTATB BTAB C

T

即C BAB也是对称阵.

10 n

六、设A 0 1 ,（1）求A. (2) 设f(x) x x ，求f(A) .

00

2

10 10 2

解: (1) 因为 A 0 1 0 1 0

00 00 0 2 10 3

A 0 1 0

00 0

3

10 4

A 0 1 0

00 0

2

2

03 2

3

1

2

2 . 0 2

1 33 23 322 0 3 .

03 2 0 3 44 36 2 2433 0 4 ．

04 3 0

2

由不完全归纳法，有

湖北汽车工业学院线性代数习题答案答案

n(n 1)n 2 nn 1

n

2 nnn 1

A 0 n ．

0 0 n

22 1 10 100 22

(2) f(A) 3A 2A E 3 0 2 2 0 1 010

00 2 00 001

3 2 2 1 6 23

2

03 2 16 2 2

003 2 1

七、设A为对角方阵且A diag( , , , n)，证明A与任意n阶方阵可交换的充要条件为

1 2 n .

证明: "必要性"

设B (bij)n n为任一n n矩阵. 则

b11b12 b1n 1 1b11 2b12 nb1n bb b b b b 1212n 2222n2n BA 2122 (1) bb n 1bn1 2bn2 nbnn n1n2 bnn 1 b11b12 b1n 1b11 1b12 1b1n

2 b21b22 b2n 2b21 2b22 2b2n

AB (2)

n bn1bn2 bnn nbn1 nbn2 nbnn

要AB BA. 需 (1) (2).因为B为任一n n矩阵.所以, 根据矩阵相等的概念, 只有 1 2 n.

"充分性"

因为 1 2 n . 所以A diag( 1, 2, , n) E.

从而对任一矩阵B (bij)n n.有

BA B( E) （BE） EB （ E）B AB

即AB BA.亦即A与任意n阶方阵B可交换. 证毕!