武汉理工大学自动化学院自控课程设计参数变化时系统稳定性分析

武汉理工大学 自动化学院 自控课程设计 参数变化时系统稳定性分析

摘要

动态性能和稳定性都是系统的重要性能指标。随着科学技术的发展进步，现代可控系统也变得越来越复杂，分析和优化也变得越来越困难。将计算机技术应用于系统分析解决了对复杂现代系统分析的难题。本次课程设计将使用MATLAB对参数变化时系统稳定性进行分析，并分析含参系统的动态性能随参数的变化。

关键字 系统 稳定性 动态性能 MATLAB

武汉理工大学 自动化学院 自控课程设计 参数变化时系统稳定性分析

参数变化时系统的稳定性分析

1． 设计任务

题 目: 参数变化时系统的稳定性分析 初始条件：

反馈系统方框图如下图所示。D1(s) K，

G1(s)

s 11

，G2(s)

s(s 1)(s 6)(s 1)(s 2)

D2(s) K

KI

s

，，

Y

要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1） 当D(s)=D1(s),G(s)=G1(s)时，确定使反馈系统保持稳定的比例增益K的范围。计

算当K=1系统在单位阶跃信号输入作用下的稳态误差系数和稳态误差； （2） 满足（1）的条件下，取三个不同的K值（其中须包括临界K值），计算不同K

值下系统闭环特征根，特征根可用MATLAB中的roots命令求取；

（3） 用Matlab画出（2）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应曲线

分析不同K值时系统的动态性能指标；

（4） 当D(s)=D2(s),G(s)=G2(s)时，确定使系统稳定K和KI的范围，并画出稳定时的允

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许区域。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的稳态误差常数和稳态误差； （5） 满足（4）的条件下，取三个不同的K和KI值，计算不同K和KI值下系统闭环

特征根，特征根可用MATLAB中的roots命令求取。画出其中一组值对应的波特图并计算相角裕度；

（6） 用Matlab画出（5）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应曲线

分析不同K和KI值时系统的动态性能指标；

（7） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，

并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

2． 对D1(s) K，G1(s)

s 1

的系统进行分析（完成要求

s(s 1)(s 6)

1—3）

2.1. 确定使反馈系统保持稳定的比例增益K的范围

根据系统框图可得系统开环传递函数

G(s)

K(s 1)

s(s 1)(s 6)

系统闭环传递函数

(s)

K(s 1)

s3 5s2 (K 6)s K

系统闭环传递函数特征方程

s3 5s2 (K 6)s K 0

根据劳斯定理列劳斯表如下

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表2.1 系统劳斯表

从劳斯表中可以看出：若要使系统稳定，需有

K 5(K 6)

0

5

且

K 0

即

K 7.5

当K 7.5时系统临界稳定

在MATLAB中输入如下指令可得K 7.5时根轨迹

den=[7.5 7.5]; num=[1 5 -6 0]; sys=tf(den,num); rlocus(sys); grid

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图2.1 当K 7.5时系统根轨迹图

2.2 计算当K 1系统在单位阶跃信号输入作用下的稳态误差系数和稳态误差

当K 1时，系统开环传递函数

G(s)

s 1

s(s 1)(s 6)

系统误差函数

11(s 1)(s 6)s2 5s 6

E(s)

s 1ss(s 1)(s 6) s 1s3 5s2 5s 1

1

s(s 1)(s 6)

稳态误差系数

KP lims 0

s 1

s(s 1)(s 6)

稳态误差

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ess( )

1

0

1 KP

2.3 计算不同K值下系统闭环特征根

取K 7.5,在MATLAB中输入以下程序

den=[1 5 1.5 7.5]； roots(den)

得到K 7.5时系统闭环特征根

ans =

-5.0000 -0.0000 + 1.2247i -0.0000 - 1.2247i

取K 10,同理的K 10时闭环特征根

ans =

-4.6030 -0.1985 + 1.4605i -0.1985 - 1.4605i 取K 12,得K 12时闭环特征根

ans =

-4.2526 -0.3737 + 1.6377i -0.3737 - 1.6377i

2.4 画出单位阶跃输入的响应曲线并分析不同K值时系统的动态性能指标

在MATLAB中输入以下程序

num=[7.5,7.5] den=[1,5,1.5,7.5] t=0:0.01:30 step(num,den,t)

[y,x,t]=step(num,den,t) maxy=max(y)

title('单位阶跃响应') grid

运行后可得当K 7.5时单位阶跃输入下的响应曲线，如图2.2。由于K 7.5时系统为临界稳

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定状态，所以不进行动态性能分析。

图2.2 K 7.5时系统单位阶跃响应曲线

在MATLAB中输入以下程序

num=[10,10] den=[1,5,4,10] t=0:0.01:30 step(num,den,t)

[y,x,t]=step(num,den,t) maxy=max(y) yss=y(length(t))

pos=100*(maxy-yss)/yss for i=1:2001

if y(i)==maxy n=i;end end

tp=(n-1)*0.01 y1=1.05*yss y2=0.95*yss i=2001 while i>0

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i=i-1

if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end end

ts=(m-1)*0.01

title('单位阶跃响应') grid

运行后可得当K 10时单位阶跃输入下的响应曲线，如图2.3，同时可得出超调量pos，峰值时间tp和调节时间ts

三项动态性能指标。

图2.3 K 10时系统单位阶跃响应曲线

其中

maxy=2.193，tp= 17.010,ts= 1.640,pos= 120.25（%）

同理，改变参数可得K 12时系统单位阶跃响应曲线（如图2.4）及动态性能指标

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图2.4 K 12时系统单位阶跃响应曲线

其中

maxy= 1.894，tp= 1.390,ts= 7.240,pos= 89.479（%）

3． 对D2(s) K

KIs

，G2(s)

1

的系统进行分析（完成要求

(s 1)(s 2)

4—6）

3.1确定使系统稳定K和KI的范围

根据系统框图可得系统开环传递函数

G(s)

Ks K1

32

s 3s 2s

系统闭环传递函数

(s)

Ks K1

32

s 3s (K 2)s K1

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系统闭环传递函数特征方程

s3 3s2 (K 2)s K1 0

根据劳斯定理列劳斯表如下

表3.1 系统劳斯表

从劳斯表中可以看出：若要使系统稳定，需有

K1 3(K 2)

0

3

且

K1 0

即

K1 3K 6 0且K1 0

允许区域表示为

图3.1 保证系统稳定的K、K1的允许取值范围

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