全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-1

第1章 数、式与方程1.1 1.2 1.3 数(式)的运算 解方程(组) 指数与对数的运算

1.1回顾

数(式)的运算

数的基本知识

整式的运算 分式的运算

数的乘方和开方运算

数的基本知识有理数 无理数 实数 数轴倒数 相反数

整数和分数统称为有理数。 无限不循环小数叫做无理数。 有理数和无理数统称为实数。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。乘积是1的两个数叫做互为倒数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与 原点的距离，数a的绝对值记作|a|。绝对值 a | a | 0 代数定义： a (a 0) (a 0) (a 0)

例题解析例1 求下列数的绝对值： 3 (1)3.4 (2) 7

解 (1)因为3.4>0,所以|3.4|=3.4。 (2)因为 3 3 3 3 <0,所以| |=-( )= 。 7 7 7 7

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例2 若a、b是两个已知数，且c=|a-b|-|b-a|,求c 。解 若a>b,则a-b>0,b-a<0。 所以 c=|a-b|-|b-a|=(a-b)-(a-b)=0

若a<b,则a-b<0,b-a>0。

所以

c=|a-b|-|b-a|=(b-a)-(b-a)=0

若a=b,则a-b=0,b-a=0。 所以 c=|a-b|-|b-a|=0

综上所述，c=0。

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3 5 、 4 、 、 这些数中，整数有_________, 2 2 9 4 分数有_________________, 有理数有_______________,无理数1.在-2、 有_______________________。4 的相反数为______,倒数为______;0的相反数___,0 5 有倒数吗？

2.

3.求下列各式中x的值： (1)x<0,| x |=2 (3)|x|= 3 4.已知a≠0, x (2)x>0,|x|=0.1

a ,求x。 a

整式的运算幂的运算法则 an· am=an+m (a、b≠0,m、n是整数) n (am)n=am·am m n a an

(a· b)n=an· bn常用乘法公式(a b)(a b) a 2 b 2

(a b) 2 a 2 2ab b 2

(a b) 2 a 2 2ab b 2

因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整 式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向 的变换。x + ax + bx + ab乘 法2

因式分解

( x a)(x b)

例题解析例1 计算： (1) (2x2 + 3x) - 4( x - 1)23 2 (2) ( a bc) ( 3ab) ( 7 abc) 4

解 2 2 2 (1)原式 = 2 x + 3x - 4 x + 8x - 4 = - 2 x + 11x - 4 (2)原式 1 7 ac ( 7abc) a 2bc 2 4 4

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例2 把下列各式分解因式 (1) 15a3b2 20a 2b3 5a 2b (2) x2 y 2 2 y 1 (3) x2 2 x 15解 2 2 (1)原式 5a b(3ab 4b 1)2 2 2 2 (2)原式 x ( y 2 y 1) x ( y 1)

( x y 1)( x y 1)

(3)原式 ( x 3)(x 5)

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2 2 1.计算 ( x 2x 5) ( 3 4 x 6 x)

2.计算 (3ab 7) ( 4a2

6ab 7) 3.分解因式：

(1)36a2bc 48ab2c 24abc2 12abc( ) (2)a 2 ac ab bc 2 ( 3) x 6 x 8

(4) 2 x 2 - 3 x - 5 =

分式的运算分式 A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 B A 的形式，如果B中含有字母，式子 B 就叫做分式，其 中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以(或 除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即A A M B B MA

,

A A M (M为不等于零的整式) B B M

分式的运算 分式的加减运算是使用通分进行的； 分式的乘除运算是使用约分进行的。

例题解析例 计算：1 1 1 b (1)a x a x (2)a b a 2 2ab b 2 b2 ab b2 (3) a3 2a 2b ab2 a 2 b2

分析 分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：① 先将各分母分解因式；②将所有因式全部取出，公因式应取次数 最高的；③将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除 运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分 子分母的公因式，再化简。

解 (1)原式 = (2)原式 (3)原式=

a+ x a- x 2a + = 2 (a - x)(a + x) (a - x)(a + x) a - x 2

1 b a + b- b a = = ( a + b) ( a + b ) 2 ( a + b) 2 ( a + b) 2

b2 (a b)(a b) b b(a b) a(a b) a(a b) 2

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1.当x=______时，分式 2 x 3 没有意义。1 3x 1 3x

2.当x=______时，分式 2 x 3 的值为0。

3.计算：3 1 1 a 2 b ab a 3 b 3 3 x 5 ( 2) (x 2 ) 2x 4 x 2

( 1)

数的乘方和开方运算正整数指数幂 a a a a a ann个a

(n是正整数)

零指数幂

a 0 1(a≠0)

负整数指数幂 平方根

a n

1 n (a≠0,n是正整数) a

若x2=a (a≥0),则称x为a的平方根(二次方根) 若x3=a (a≥0),则称x为a的立方根(三次方根)

立方根

n次方根

若xn=a (a是一个实数，n是大于1的正整数),则称数x为a的一个n次方根。 当n为偶数时，对于每一个正实数a,它在实数集里 有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 n a 和 n a ; 而对于每一个负数a,它的n次方根没有意义。 当n为奇数时，对于每一个实数a,它在实数集里只 有一个n次方根，表示为n a 。n a<0。 当a>0时，n a>0;当a<0时，

0的n次方根是0。

n次根式 我们把形如 n a(有意义时)的式子称为n次根式，其 中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根 n a 称为a 的n次算术根，并且( n a )n a (n>1,n是正整数)