7.3毕奥-萨法尔定律

7-3 毕奥-萨伐尔定律预习要点 1. 领会磁场叠加原理. 2. 毕奥-萨伐尔定律的内容及其数学表达式是什么? 3. 如何应用毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理计算电 流的磁场中磁感应强度的分布？

教学基本要求一、理解毕奥-萨伐尔定律；二、理解磁场叠加原理； 三、能计算一些简单电流分布产生的磁场的磁感应强度.

一、磁场叠加原理1.几个电流共同激发磁场

B Bi

2.任意电流是无数小电流首尾相接组成，其上任 一电流元在某场点产生的磁感应强度为dB ,则此电 流在该场点产生的总磁感应强度为

要由上两式求得 B , 必须先知道 d B 的具体表达式19世纪20年代，毕奥、萨法尔和拉普拉斯等科学家，分析了许多 实验资料，推论出电流回路中任一电流元在空间任一点产生的磁 感应强度所遵循的规律，称为毕奥-萨法尔定律

B dBL

让· 巴蒂斯特· 毕奥人物简介法国物理学家。卒于1862年2月3日。 曾与萨伐尔共同提出毕奥——萨伐尔定律。 曾恪守电与磁无关系的看法，后支持奥斯特。 毕奥是在著名的法国工程学校巴黎综合理工学院 毕业的。

科学研究1、在1800年代初期，他研究了通过溶液的光的偏振，以及 电流和磁场之间的关系。毕奥-萨伐尔定律，描述了由一个稳定 的电流所产生的磁场，就是以他和菲利克斯· 萨法尔命名的。 2、毕奥是第一个发现云母独特的光学性质，因此以云母为 基础的矿物黑云母就是以他命名的。 3、1804年，毕奥和约瑟夫· 路易· 盖-吕萨克制造了一个热 气球，上升到了五千米的高度，目的是为了研究地球的大气层。 4、月球上有一个陨石坑是以毕奥命名的。

菲利克斯· 萨伐尔人物简介及主要成就菲利克斯· 萨伐尔( Félix Savart ,1791年6月30日-1841年3 月16日),法国物理学家和医生。 他与让-巴蒂斯特· 毕奥共同创建了毕奥-萨伐尔定律。这是静 磁学的一个基本定律，精确地描述载流导线的电流所产生的磁场。 声学也是萨伐尔的研究专长之一。他发展出一种声学仪器，沙 伐音轮 (Savart wheel) 。利用齿轮来控制旋转的角速度，这音轮 可以发出各个不同的特定频率的声音。 在音乐理论里，旧时曾使用过的音程度量单位，沙伐 (savart) ,也是以他命名；虽然真正发明这度量单位的是法国数 学家约瑟夫· 索沃尔(Joseph Sauveur)。现在，通常使用“度” 来表示两音之间的距离。

拉普拉斯人物简介(1749年3月23日- 1827年3月5日 ) 法国数学家、天文学家，法国科学院院士。是天体力学的 主要奠基人、天体演化学的创立者之一，他还是分析概率 论的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。

主要

研究1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校 任教授。 1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政 府中任过6个星期的内政部长。 1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。 1827年3月5日卒于巴黎。 拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许 多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉 斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛 的应用。

二、毕奥-萨伐尔定律 1.毕奥-萨伐尔定律内容电流元在空间一点 所产生的磁感应强度 小与电流元的大小成正比，与电流元和电流元到 P 点 的矢径 r 之间的夹角的正弦成正比，并与电流元到 P 点的距离的平方成反比； dB 的方向与矢性积 Idl r 的方向相同。

P

dB的大

dB

I Idl

P * er

r

2.毕奥-萨伐尔定律数学表达式 电流元 Idl 在空间一点 在SI中， P产生的磁感应强度：

0 Idl er dB 4 π r2

Idl 7 2

dB

真空磁导率 0 4π 10 N A

r

3.大小： 0 Idl sin dB 4 π r2 4.方向：右手螺旋法则

dBP*

I Idl

r

5.任意载流导线在点 P 处的磁感强度

0 I dl er B dB 2 4π r 说明：(1)上式是矢量积分；

(2)只有当各电流元在所研究的场点产生的 时，才能用 B dB 直接计算 B 的大小；

dB方向都相同

L

(3)一般情况下各电流元在所研究的场点产生的 同，计算 B 时，应建立坐标系，先求出 B 沿坐标轴的分量

dB方向不

然后合成求得

Bx L dBx , B y L dBy , Bz L dBz

B Bx i By j Bz k

6.介质磁导率处在磁场中的物质称为磁介质，在各向同性的磁介质中， 毕奥-萨法尔定律同样成立

真空磁导率 磁介质磁导率 相对磁导率 真空可看做

0 4 π 10 7 N A 2 4 10 7 T m A 1

r / 0 r 1的磁介质

三、应用毕奥-萨伐尔定律求电流的磁场分布 解题步骤： 1.将载流导线无限分割取电流元； 2.确定电流元的磁场大小

3.确定 dB 的方向，若所有 dB 同向，则

0 Idl sin(Idl , er ) dB ; 2 4π r

4.若各电流元的 dB不同向，则应建立坐标系， 求 dB 在各轴的投影 dB , dB , dB .x y z

0 Idl sin(Idl , er ) B dB ; 2 4π r L L

5.求 B 的分量 Bx dBx , By dBy , Bz dBz ;L L L

6. B B i B j B k x y z注意磁场分布的对称性，选择合适的坐标轴方 向，可简化计算.

例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.1 8×

2×3

7

IdlR6×

4

0 Idl r dB

3 4π r5

1、5点 ：dB 0 0 Idl 3、7点 ：dB 4 π R2 2、4、6、8 点 ： 0 Idl dB sin 45 0 4 π R2 毕奥-萨伐尔定律

例: 一段有限长载流直导线,通有电流为I ,求P处的 磁感应强度. 解: 由对称性分析 B 线为分布 B 2 在垂直于通电导线、圆心在 导线上的系列圆簇， 的方向 dl B r dB 与电流方向成右手螺旋关系.

在导线上任取电流元 Idl ,

I

其在P点的矢径为 r ,夹角 为 ( Idl , r ),则

oA

r0P*

1

μ0 Idl sin θ dB 4π r2

μ0 Idl sin θ B dB 2 AB 4π rl r0 cot , r r0 / sin

B

2

dl r0d / sin 2

dl

r

dB

4π r0 1 0 I 2 B 1 sin d 4 π r0

B

0 I

2

sin d

I

oA

r0P*

1

0 I (cos 1 cos 2) 4π r0

点P的 B方向垂直于

r 和导线决定的平面,即沿以

O为圆心OP为半径并位于和导线垂直平面内的圆在点

P的切线，指向按右手螺旋关系.无限长载流长直导线的磁场.

1 0 2 ππ 1 2 2 π

B

0 I2 π r0

半无限长载流长直导线BP

0 I4πr

无限长载流长直导线的磁场

B

0 I2πr

IB

IX

B

电流与磁感强度成右螺旋关系

例：一载流圆环半径为R通有电流为I,求圆环轴线上 任一点P的磁感应强度. 解： 将圆环分割为无限多个电流元；各电流元在P的dB 方向不同，但相对于圆环轴线对称分布. 如图建立坐标 系，由对称性知

Idl

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x

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