2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学

3.2 双曲线的简单性质

学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．

知识点一双曲线的简单性质

思考类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线

x2 a2－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的哪些性质？

梳理

知识点二双曲线的离心率

思考1 如何求双曲线的渐近线方程？

思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？

梳理双曲线的焦距与实轴长的比c

a

，叫作双曲线的，其取值范围是________．e

越大，双曲线的张口________．

知识点三双曲线的相关概念

1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．

2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.

类型一由双曲线方程研究其性质

例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．

(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．

跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

类型二由双曲线的简单性质求标准方程

例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为12，离心率为54

； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32

x ； (3)求与双曲线x 2－2y 2

＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．

反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤

①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；

②设双曲线的标准方程；

③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；

④求出a ，b ，写出方程． (2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2

b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)；

②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)； ③渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2

＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135

； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12

x ，且经过点A (2，－3)．

类型三 与双曲线有关的离心率问题

命题角度1 求双曲线离心率的值

例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94

ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.53

C.94

D ．3 引申探究

例3条件“|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94

ab ”改为“若PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°”，结果如何？

反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法

(1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝c a .

(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出b a 后，利用e ＝ 1＋b

a 2求解．

跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为

34c .求双曲线的离心率．

命题角度2 求双曲线离心率的取值范围

例4 设双曲线C ：x 2

a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．

反思与感悟 求离心率的取值范围技巧

(1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式．

(2)通过解不等式得c a 或b a

的取值范围，求得离心率的取值范围． 跟踪训练4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为

( )

A ．(1，＋∞)

B ．(2＋1，＋∞)

C ．(1，2＋1)

D ．(1，3)

1．双曲线x 215－y 2＝1与椭圆x 225＋y 29

＝1的( ) A ．焦点相同 B ．顶点相同

C ．实轴与长轴相同

D ．短轴与虚轴相同

2．设双曲线x 2a ＋y 29

＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．－4

B ．－3

C ．2

D ．1

3．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )

A.32

B ．2 C.52 D ．3

4．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )

A.x 29－y 29

＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 5．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．

1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．

2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．

答案精析

问题导学

知识点一

思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．

梳理 x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )

知识点二

思考1 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±y b ＝0，如图，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．

思考2 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝

c a ，则b a ＝c 2－a 2

a

＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，b a

的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大． 梳理 离心率 (1，＋∞) 越大

题型探究

例1 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为 x 29－y 2

4＝1，即x 232－y 2

22＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，

因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；

焦点坐标为(－13，0)，(13，0)；

实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4；

离心率e ＝c a ＝133；

渐近线方程为y ＝±b a x ＝± …… 此处隐藏：2967字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……