2012届高三数学总复习：平面解析几何练习题汇总(4)(2)

来源：网络收集时间：2026-05-15

导读：依题意及几何概型，可得 834即ab＝3. 因为0a≤2,0b≤3，所以a＝2，b＝3. x2y2 所以，椭圆M的方程为431. 三、解答题 x2y2 15．(文)(2010山东济南市模拟)已知椭圆Ca2b2＝1(ab0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆

依题意及几何概型，可得

834即ab＝3. 因为0<a≤2,0<b≤3，所以a＝2，b＝3.

x2y2

所以，椭圆M的方程为431. 三、解答题

x2y2

15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆Ca2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标； (2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，1PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN4 [解析] (1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切， ∴b＝

，得b＝2. 1＋1

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又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，

c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．

(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程， x02y02x2y2

即有a2b21，a2b21. y2－y02b2

两式相减得：＝－a2.

x2－x02

由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则 y－y0y＋y0kPM＝，kPN＝

x－x0x＋x0

y－y0y＋y0y2－y02b2kPM·kPN＝a2，

x－x0x＋x0x2－x02b21

则－a24，由a＝2得b＝1， x2

故所求椭圆的方程为4y2＝1.

(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是23.

(1)求椭圆C的方程；

→

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． x2y2

[解析] (1)设椭圆Ca2b21(a>b>0)

a2＝b2＋c2

＝23由题意 ab c＝2

，

解得a2＝16，b2＝12.

x2y2

所以椭圆C的方程为16＋12＝1.

x2y2

(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为16＋121，故－4≤x≤4. →

因为MP＝(x－m，y)， →

所以|MP|2＝(x－m)2＋y2

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x2＝(x－m)2＋12×116.

＝4－2mx＋m2＋12＝4(x－4m)2＋12－3m2. →

因为当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点， →

即当x＝4时，|MP|2取得最小值．而x∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.

又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4. 故实数m的取值范围是m∈[1,4]．

x2y2

16．(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23. (1)求椭圆C的焦距；

→→

(2)如果AF2＝2F2B，求椭圆C的方程． [解析] (1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0) ∵kl＝tan60°＝3 ∴l的方程为y3(x－c) 即：3x－y3c＝0 ∵F1到直线l的距离为3 ∴

|－3c3c|3c＝23

32＋－12

∴c＝2

∴椭圆C的焦距为4

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0 直线l的方程为y3(x－2)

y＝3x－2由 x2y2

＋＝1 a2b2

消去x得，

(3a2＋b2)y2＋3b2y－3b2(a2－4)＝0

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43b2

y1＋y2＝－ ① 3a2＋b2

由韦达定理可得－3b2a2－4y1·y2＝ ② 3a2＋b2→→

∵AF2＝2F2B，∴－y1＝2y2，代入①②得 43b2

－y2＝－ ③ 3a2＋b2 －3b2a2－4－2y22 ④ 3a2＋b2③213a2＋b248b42④3a2＋b223b2a2－416b2＝ ⑤ 3a2＋b2a2－4又a2＝b2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5 x2y2

∴椭圆C的方程为95＝1.

17．(文)(2010·安徽文)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心1率e＝2.

(1)求椭圆

E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．

x2y2

[解析] (1)由题意可设椭圆方程为a2b21(a>b>0) 1c1

∵e＝2a2，∴a＝2c 又b2＝a2－c2＝3c2

x2y2

∴椭圆方程为4c2＋3c21.又∵椭圆过点A(2,3) 49x2y2

∴4c23c21，解得c2＝4，∴椭圆方程为16＋12＝1. (2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，

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∴直线AF1的方程y＝4＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.

设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等． |3x－4y＋6|即|x－2| 5

∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x) 即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.

由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0. 法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k. 则直线AM方程y－3＝k(x－2)．由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，

∴直线AF1方程为y＝4＋2)，即3x－4y＋6＝0 设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)， y01

k x0－2

则 x0＋2y0

3＝k 22－2

－6k＋2k2＋26解之得F2()．

1＋k21＋k2∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称， ∴点F2′在直线AF1上．

－6k＋2k2＋26

即3×4×＋6＝0.

1＋k21＋k21

解得k＝－2或k＝2.

由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正， 1

∴k＝－2(舍去)．

故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0. 法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)， →→

∴AF1＝(－4，－3)，AF2＝(0，－3)，

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→→AF1AF211

∴→→＝5(－4，－3)＋3，－3) |AF2||AF2|4

＝－5，

∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.

→→→→

[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴AF1与AF2的单位向量的和与l共线．从而可由AF1、AF2的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．

x2y2(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4. (1)求椭圆的两焦点坐标；

(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称； (3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由． [解析] (1)由椭圆定义知：2a＝4， x2y2∴a＝2，∴4＋b2＝1 11

把(1,1)代入得4b2＝1

4x2y2

∴b2＝3441

4826

∴c2＝a2－b2＝4－3＝3c＝3故两焦点坐标为

26 26

0 ，－30 . 3

(2)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝22，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝10 ∴|AM|>|AB|.

从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC方程为：y＝k(x－1)＋1 y＝kx－1＋1

联立 x23y2消去y得

＋＝1 44(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0

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∵点A(1,1)在椭圆上 ∴xC＝3k2－6k－13k2＋1∵直线AC、AD倾斜角互补 ∴AD的方程为y＝－k(x－1)＋1 同理xD＝3k2＋6k－1

3k2＋1

又yC＝k(xC－1)＋1，yD＝－k(xD－1)＋1 yC－yD＝k(xC＋xD)－2k 所以kCD＝yC－yD1

xC－xD3

即直线CD的斜率为定值1

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