2011中考数学二次函数综合复习压轴题特训

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2011中考数学二次函数综合复习压轴题特训

一、猜想、探究题

1. 已知：抛物线y ax2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在

x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程

2

x 5x 4 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 1．

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交

AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

1 作平行于x轴的直线l，2. 已知，如图1，过点E 0，抛物线y

14

x

2

上的两点A、B

的横坐标分别为 1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF DF； （3）点P是抛物线y

14x

2

对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴

于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

（图1）

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3. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻

折

得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得 直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP x，AD y，当x为何值时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

图①

4. 如图，已知抛物线y x2 4x 3交称轴交x轴于点E，点B的坐标为（ （1）求抛物线的对称轴及点A（2）在平面直角坐标系xoy若存在，请写出点P（3）连结CA把四边形DEOC请说明理由．

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5. 如图①， 已知抛物线

y ax

2

与x bx 3（a≠0）轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

图① 图②

二、动态几何

6. 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， A 90°，AD 6厘米，DC 4厘米，BC的坡度i 3∶4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒． （1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

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7. 已知：直线y

12

x 1与y

轴交于A，与x轴交于D，抛物线y

12

x bx c

2

与直线交

于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM MC|的值最大，求出点M的坐标．

8. 已知：抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1，与x轴交于A，B两点，与y轴

0 、C 0， 2 ．交于点C，其中A 3，

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

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9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD 2，AB 3． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间．．．．．为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当t

52

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

10. 已知抛物线：y1

12x 2x

2

．

（1）求抛物线y1的顶点坐标．

（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．

（3）如下图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【提示：抛物线y ax2 bx c（a 0）的对称轴是x

b4ac b2 】 2a4a

b2a

，顶点坐标是

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11. 如图，已知抛物线C1：y a x 2 2 5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

图1

图

2

12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，抛0)、C(8，0)、D(8，8)．物线y ax2 bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？ ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？ 请直接写出相应的t值．

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