高一数学上学期期末考试复习卷必修一和二(2)

x 1

x 1 ． （1）证明f(x)在 1, 上是减函数；

（2）当x 3,5 时，求f(x)的最小值和最大值． （1）证明：设1 xx1 1x2 1

1 x2,则 f(x1) f(x2)

x …2分 1 1x2 1

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x1 1 x2 1 x2 1 x1 1 2 x2 x1 x ……4分

1 1x2 1x1 1x2 1 x1 1,x2 1, x1 1 0,x2 1 0, (x1 1) x2 1 0, ……6分 x1 x2, x2 x1 0, f(x1) f(x2) 0 f(x1) f(x2) ……7分

f(x)在 1, 上是减函数。 ……8分

（2） 3,5 1, ， f(x)在 3,5 上是减函数， ……10分

f(x)max f(3) 2,f(x)min f(5) 1.5, ……12分

21、（本小题满分14分）已知直线l:x 2y 3 0与圆C:x2

y2

x 6y m 0相交于P,Q两点，O为坐标原点，D为线段PQ的中点。

(1)求圆心C和点D的坐标； (3)若OP OQ,求PQ的长以及m的值。

21.解：(1) C:x2

y2

x 6y m 0 C:(x 1)2 (y 3)2

37

24

m 圆心C为(

1

2

,3)， CD PQ k1CD k 2 PQ l 2(x 1

CD:y 32

)即2x y 4 0

联立方程 x 2y 3 0 x 1

2x y 4 0解之得

y 2即D( 1,2)…………………6分

(2)解法一：连接PC, D为PQ的中点，OP OQ…………………8分

PQ 2OD 10分

在Rt PCD中， CD2

PD2

PC2

37

4

m…………………11分

又PD

12AB CD 13分

374 m 25

4

,m 3…………………14分 （2）解法二：设点P(xp，yyQ)，Q(xQ，yQ)

pyQ

当OP⊥OQ≥Kop·KOQ=-1xp

xQ

=-1 xpxQ+ypyQ = 0 （1）……………………8分

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又直线与圆相交于P、Q

x 2y 3 0(2)2 y x 6y m 0(3)

x2

的根是P、Q坐标 是方程5x2+10x+(4m-27)=0的两根 有：x4m 27p+xQ=-2，xp·xQ= 5

……………………10分 又P、Q在直线x+2y-3=0上y1p·yQ= (3- xp)·(3- xQ)

12

4

[9-3(xp+ xQ)+ xp·xQ] ……………………11分 由(1)(2)(3)得：m=3………………………………12分 且检验△>O成立…………………………………13分 故存在m=3，使OP⊥OQ…………………………14分

22. （本小题满分14分） 设a为常数，a R，函数f(x) x2

|x a| 1(x R). （1）若函数f(x)为偶函数，求实数a的值； （2）求函数f(x)的最小值. 解： （1）因为f(x)为R上的偶函数，所以f( x) f(x)对一切实数x恒成立， 即( x)2

| x a| 1 x2

|x a| 1 恒成立，

化简得| x a| |x a| 恒成立，故 x a x a 或 x a x a 恒成立， 故a 0；

（2）注：此问和第（1）问无关系。二次函数问题要画图分析

当x…a时，f(x) x2 x a 1 (x 1

312

)2 a

4

，对称轴为x 2，

若a 12，f(x)的最小值g(a) f( 12) ( 12)2 ( 13

2) a 1 a 4；

若a 12

，f(x)的最小值g(a) f(a) a2 a a 1 a2

1；

当x a时，f(x) x2 x a 1 (x 12)2 a 31

4，对称轴为x 2

，

若a 12，f(x)的最小值g(a) f(a) a2 a a 1 a2

1；

若a 12，f(x)的最小值g(a) f(12) (12)2 12 a 1 a 3

4

；

a 3,1

4a 2综上，f(x)的最小值g(a) a2

1, 1 a1

2 2

3

a 4,a 12

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