乒乓球运动中的力学问题研究分析(3)

由（3-2）（3-3）（3-4）可解得：

vF=

vf=IF （3-5） mIf

m （3-6）

3If

mDω=DIf

2Ic= （3-7）

乒乓球运动中的力学问题研究分析

对于乒乓球飞行的速度分析水平和竖直方向，所以还需将vF和vf分解到水平和竖直方向，如图3-2。

不难解得

vx=vFsinθ+vfcosθ=IIFsinθ+fcosθ （3-8） mm

If

msinθ IFcosθ （3-9） mvy=vfsinθ vFcosθ=

这样第一轨迹的初速度就求解出来了。乒乓球在飞行过程中主要承受竖直向下的重力，竖直向上的浮力，与运动方向相反的空气阻力以及旋转产生的马格努斯力。如图3-3。

图3-2 球受力分解图

乒乓球运动中的力学问题研究分析

图3-3 第一轨迹受力分析图 假设乒乓球整个飞行过程只在平面xoy内。球速度v与水平线成θ角，转速为γ（γ=ω），自转轴垂直于xoy面，空气密度为ρ，乒乓球直径为D。 2π

1重力G=mg，查空气动力学原理知：浮力F浮=πρgD3，阻力6

1Fd=πCdρD2v2，其中阻力系数Cd按照雷诺数范围可有三个表达式：8

2424Re2/3Cd=(Re<1)；Cd=(1+)(1<Re<1000)；Cd≈0.44(1000<Re<200000)，ReRe6

Re为雷诺数。马格努斯力FM=CLρD3γv。

根据图3-3进行受力分析，将力沿x和y方向分解，可得到：

d2x1m2=CLρD3γvsinθ πCdρD2v2cosθ （3-10） dt8

d2y11m2= mg+πρgD3 CLρD3γvcosθ πCdρD2v2sinθ （3-11） dt68

式（3-10）和（3-11）是乒乓球第一轨迹方程。

3.2.2 第二轨迹

分析乒乓球与台面碰撞过程，以便求解第一轨迹的末态与第二轨迹的初态的关系。乒乓球与台面碰撞过程中，乒乓球受到台面对球的弹力以及摩擦力，而摩

乒乓球运动中的力学问题研究分析

擦力既有滑动摩擦力也有滚动摩擦力，由于滑动摩擦力远大于滚动摩擦力，因此计算时忽略滚动摩擦力对乒乓球的作用。

设乒乓球以质心速度ve（ve为第一轨迹的末速度）斜向撞在球桌上。如图3-4。ve可沿x和y方向分解为vex和vey，u为反弹速度，也可沿x和y方向分解为ux和uy，恢复系数为e，滑动摩擦系数为µ，ω0=2πγ。

乒乓球做平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向弹力的冲量

SN=∫Ndt和瞬时摩擦力的冲量Sf=µ∫Ndt。设碰撞后的角速度为ω（ω=2πγ′），

00tt

γ′为碰撞后的转速。

设o点的速度为vo，则vo=vex rω0；当vo>0时，o点相对于球桌向x正方向滑动，则Sf方向为x负方向；当vo<0时，o点相对于球桌向x负方向滑动，则Sf方向为x负方向。这样，分两种情况列方程。

图3-4 球与台面碰撞的力学分析

1）vo>0时，由于Sf方向为x负方向，则摩擦力矩使其转速加快，即ω>ω0。 根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，有

mux mvex= Sf （3-12）

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muy mvey=SN （3-13） Icω Icω0=Sfr （3-14） 式中乒乓球对质心的转动惯量Ic=22mr，由恢复系数的定义可得出： 3

uy= evey （3-15） 综合以上四式可解得：

ux=vex+µvey(e+1) （3-16） uy= evey γ′=γ 3µvey(e+1) 4πr

2）vo<0时，由于Sf方向为x正方向，则摩擦力矩使其转速减慢，即ω<ω0。和1）同理列出方程组，得：

ux=vex µvey(e+1) （3-17） uy= evey γ′=γ+3µvey(e+1) 4πr

上述两个方程组将第一轨迹和第二轨迹因碰撞而联系起来。

第二轨迹方程与第一轨迹方程列法完全相同，只是将第一轨迹的瞬时速度v；v与水平方向的夹角θ以及转速γ 改变为第二轨迹的瞬时速度v′；v′与水平方向的夹角 θ′以及转速 γ′。

d2x1 m2=CLρD3γv′sinθ′ πCdρD2v′2cosθ′ （3-18）dt8

d2y11m2= mg+πρgD3 CLρD3γ′v′cosθ′ πCdρD2v′2sinθ′ （3-19） dt68

3.3 空间运动方程

乒乓球飞行过程很难完全在一个平面内，整个轨迹应该是三维空间曲线，而非二维曲线。

乒乓球三维空间运动中球拍碰撞乒乓球的过程与二维相似，不同的是摩擦力

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使球旋转的方向。对乒乓球的初速度v0的分析，乒乓球受到球拍对球的推力F以及与球拍面相切的摩擦力f（如图3-5）。

x

图3-5 乒乓球受力分析

有动量定理可得：

vF=vf=IF mIf

m

3If

mDω=DIf

2Ic=

与二维所得结果一样，将其分解到x、y、z方向，得：

v0x=If

m

If

m

If

mcosαcos +IFsinαcos （3-20） mv0y=cosαsin +IFsinαsin （3-21） mv0z=sinα IFcosα （3-22） m

式（3-20）（3-21）（3-22）是初速度v0在x、y、z方向的分量。

接下来对乒乓球三维空间飞行过程分析，乒乓球同样受到竖直向下的重力，与速度方向相反的空气阻力，竖直向上的浮力以及马格努斯力。建立空间直角坐标系（如图3-6），设初速度为v0，它与xoy平面的夹角为θ，它在xoy平面的投影与x轴夹角为β。球的旋转轴ω与z轴的夹角为φ。[11]

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图3-6 空间直角坐标系

rr速度的向量v=(vx,vy,vz)，自转频率的向量ω=(0,ωsinφ,ωcosφ)，可求的

马格努斯力：

rrrr3 FM=CLρDγ (vzsinφ vycos )i+vxsinφj+vzsinφk （3-23）

由牛顿定律列出非线性微分方程组：

dx dt=vx=vcosθcosβ

dy=v=vcosθcosβy dt dz=vz=vsinθ dt （3-24） 1dv mx=CLρD3γ(vzsinφ vycosφ) πCdρD2vvx dt8 dv my=CLρD3γvxsinφ 1πCdρD2vvy8 dt dv11 mz= mg+πρgD3 CLρD3γvzsinφ πCdρD2vvz68 dt

式（3-24）即是乒乓球空间运动方程。

乒乓球与台面碰撞过程较为复杂，碰撞后速度的方向有很多种可能性，碰撞后乒乓球在空间飞行受力情况与碰撞前一样，但马格努斯力的大小和方向都发生了改变，由于速度方向无法确定，故马格努斯力的方向也无法确定。正因为如此，比赛中运动员对这种球的接法，不仅仅靠理论还要经验以及反应速度；同时打出这样的球也是赢分的保障。

乒乓球运动中的力学问题研究分析

3.4 Matlab仿真

3.4.1 弧圈球轨迹仿真

为了减少式（3-10）（3-11）中变量的个数，用vx=vcosθ=vy=vsinθ=dx和dtdy代入式（3-10）和（3-11），并将其化为一阶偏导，得：

dt

dv1mx=CLρD3γvy πCdρDx …… 此处隐藏：1660字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……