2015-2016学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（文科）解析(4)

则根据题意可得，z=300x+400y．

作出不等式组表示的平面区域，如图所示．

作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移， 由

，可得x=3，y=6，

此时z最大，最大值为z=300×3+400×6=3300（元）．

则每天生产甲产品3桶，乙产品6桶，可以获得最大利润3300元．

【点评】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件．

18．（8分）（2016春?和平区期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E分别为BC、B1C1的中点，且AB=AA1=2． （1）求证：A1E⊥C1D；

（2）求证：A1E∥平面AC1D；

（3）求直线AC1与平面BCC1B1所成角的余弦值．

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明A1E⊥平面BCC1B1，即可． （2）根据线面平行的判定定理证明A1E∥AD即可，

（3）根据线面角的定义得到∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角，解直角三角形即可． 【解答】（1）证明：在如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，A1E?平面A1B1C1， ∴CC1⊥A1E，

则在三角形A1B1C1中，E为B1C1的中点， 则A1E⊥B1C1， ∵CC1∩B1C1=C1，

∴A1E⊥平面BCC1B1， ∵C1D?平面BCC1B1， ∴A1E⊥C1D； （2）连接DE，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，点D、E分别为BC、B1C1的中点，

∴BB1∥DE，且BB1=DE， ∵BB1∥AA1，且BB1=AA1， ∴AA1∥DE，且AA1=DE，

即四边形ADEA1，为平行四边形． ∴A1E∥AD，

∵AD?平面AC1D，AE?平面AC1D， ∴A1E∥平面AC1D； （3）∵AD∥A1E， ∴A1E⊥面BB1C1C， ∴AD⊥面BB1C1C，

∴∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角，

在Rt△AC1D中，∠ADC1=90°，DC1=，AC1=2， cos∠AC1D=

=

．

即所求角的余弦值为．

【点评】本题主要考查空间线面垂直和平行的判断以及直线和平面所成角的大小的计算，根据相应的判定定理以及利用线面角的定义作出线面角的平面角是解决本题的关键．

19．（8分）（2016春?和平区期末）已知椭圆C：且右焦点为F（2，0）． （1）求椭圆C的方程；

+

=1（a＞b＞0）经过点A（2，3），

（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于求直线l的方程．

【分析】（1）依题意设椭圆C的方程为

+

=1（a＞b＞0）由已知得 c=2，

，

2a=|AF|+|AF′|=8，由此能求出椭圆C的方程．

（2）平行于OA的直线l的方程为y=x+t，联立直线与椭圆方程，得3x+3bx+t﹣12=0，由此利用根的判别式，结合OA与l的距离等于【解答】解：（1）依题意设椭圆C的方程为且可知左焦点为F′（﹣2，0）， |AF|=|AF′|=

=3， =5，

+

，即可求直线l的方程． =1（a＞b＞0）

2

2

从而有c=2，2a=|AF|+|AF′|=8， 解得a=4，c=2，

2222

又a=b+c，所以b=12， 故椭圆C的方程为

=1．

（2）∵kOA=，∴平行于OA的直线l的方程为y=x+t，

联立直线与椭圆方程，得3x+3bx+t﹣12=0，

22

∵平行于OA的直线l与椭圆有公共点，∴△=9t﹣12（t﹣12）≥0， 解得﹣4≤t≤4 ∵OA与l的距离等于， ∴

=

，

2

2

∴t=±∈[﹣4，4] ．

∴直线l的方程为y=x±

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（10分）（2016春?和平区期末）设函数f（x）=﹣x+x+2ax，x∈R． （1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；

3

2

（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．

【分析】（1）求出函数的导数，得到导函数的符号，求出函数的单调性即可；

（2）求出函数的导数，得到函数的极大值点，解关于a的不等式，求出a的范围即可； （3）求出x2的范围，解关于a的方程，求出a的值和x2的值，从而求出f（x）在区间[1，4]上的最大值．

【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=）=﹣x+x﹣2x， ∵f′（x）=﹣∴f（x）在R递减；

（2）由f′（x）=﹣x+x+2a=0， 解得：x1=

则极大值点是x2，令解得：a＞﹣，

∴a的范围是（﹣，+∞）；

（3）由（2）得f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增， 当0＜a＜2时，x1∈（

，0），x2∈（1，

），

，x2=

， ＞，

2

3

2

﹣＜0，

故x1＜1＜x2＜4，∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（x2）， ∵f（4）﹣f（1）=﹣

+6a＜0，

+8a=﹣

，

∴f（x）在[1，4]上的最小值是f（4）=﹣解得：a=1，x2=2，

∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（2）=

．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．