四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试(4)

且x?0时，f(x)?0, f(?1)??2 (1)求证: f(x)为奇函数；

(2) 试问f(x)在x?[?4,4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由； (3)若f(k?3x)?f(3x?9x?2)?0对任意x?R恒成立，求实数k的取值范围。 (1)证明：因为f(x?y)?f(x)?f(y)（x,y?R） ①

所以 令x?y?0，得f?0??f?0??f?0?，即 f?0??0

令y??x，得f?0??f?x??f??x?， 又f?0??0，则有0?f?x??f??x?

f??x???f?x?对任意x?R成立，以f?x?是奇函数．??4分

(2) )解：设x1,x2?R，且x1?x2，则x1?x2?0，从而f(x1?x2)?0，

又f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f[x1?(?x2)]?f(x1?x2). ∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2). ∴函数f(x)为R上的增函数， ∴当x?[?4,4]时，f(x)必为增函数． 又由f(?1)??2，得?f(1)??2，∴f(1)?2

∴当x??4时，f(x)min?f(?4)??f(4)??4f(1)??8； 当x?4时，f(x)max?f(4)?4f(1)?8． ???? 8分

(3)解：由（2）知f?x?在R上是增函数，又由(1) f?x?是奇函数。

f?k?3x???f?3x?9x?2??f??3x?9x?2?，等价于k?3x??3x?9x?2，

法一：即3??1?k?3?2?0对任意x?R成立．

2xxx2令t?3?t?0?，问题等价于t??1?k?t?2?0对任意t?0恒成立．

令g?t??t2??1?k?t?2?t?0?

当1?k?0即k??1时,g(t)在（0，+?）上递增，f(0)=2>0,符合题意； 2当1?k?0即k??1时,g(t)?0 对t>0恒成立2 ?1?k?0???2??1?k?22?1???(1?k)2?4?2?0?综上，当k?22?1时，f(k?3x)?f(3x?9x?2)?0对任意x?R恒成立。??13分 法二（分离系数）即k?3?x22x?1hu?u??1 ， 设，u?3u?0????x3u设u1,u2??0,???,且u1?u2

???22?2??2h?u1??h?u2???u1??1???u2??1???u1?u2?????

u1??u2???u1u2???u1?u2??2?u2?u1??u1?u2??u1u2?2? ?u1u2u1u2当u1,u2?0,2时，u1u2?2?0，易得h?u1??h?u2?，所以h?u?在0,2上单减； 当u1,u2??????2,??时，u1u2?2?0，易得h?u1??h?u2?，所以h?u?在0,2上单增；

???故h?u?的最小值为h从而 k?22?1

?2??22?1，即3x?2?1的最小值为22?1 x3所以，当k?22?1时，f(k?3x)?f(3x?9x?2)?0对任意x?R恒成立。 (法二未证明函数的单调性的扣2分)