2009年高考四川数学试题及答案（理数）(4)

??????????226（II）过点F，求直线l的方1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且F2M?F2N?3程。

?c2???a2，解得a?2,c?1【解析】（I）由已知得?2?a?2??c∴ b?a2?c2?1

w.w.w..s.5.u.c.o.m

x2?y2?1 ?????????????4分 ∴ 所求椭圆的方程为2（II）由（I）得F1(?1,0)、F2(1,0)

?x??12?①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x??1，由?x2得 y??22??y?1?2设M(?1,22)、N(?1,?)，22w.w.w.s.5.u.c.o.m

??????????22)?(?2,?)?(?4,0)?4，这与已知相矛盾。 ∴ F2M?F2N?(?2,22②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)， 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

?y?k(x?1)?2222联立?x2，消元得(1?2k)x?4kx?2k?2?0 2??y?1?2?4k22k2?2,x1x2?∴ x1?x2?，

1?2k21?2k2∴ y1?y2?k(x1?x2?2)???????????又∵F2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2) ??????????∴ F2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)

2k，21?2kw.w.w.s.5.u.c.o.m

222????????????8k?2226?2k?22∴ F2M?F2N?(x1?x2?2)?(y1?y2)?? ???2?2?3?1?2k??1?2k?化简得40k?23k?17?0 解得k?1或k??∴ k??1

∴ 所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1 ?????????????12分 22. （本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记

224217(舍去) 40bn?4?an(n?N*)。1?anw.w.w.s.5.u.c.o.m

（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

*（III）记cn?b2n?b(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都2n1?有Tn?3； 2【解析】（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

14w.w.w..s.5.u.c.o.m

?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4(n?N*) ?????????????3分 ∴an?(?)，bn?141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

14?(?)n54?4?证明：由（I）知bn?n1n(?4)?11?(?)4w.w.w.s.5.u.c.o.m

552015?16k?40?b2k?1?b2k?8???8?k??8?k?8.(?4)2k?1?1(?4)2k?116?116k?4(16?1)(16k?4)5

∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4kw.w.w..s.5.u.c.o.m

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?5得

(?4)n?1w.w.w..s.5.u.c.o.m

5515?16n15?16n15?16n15cn?b2n?1?b2n?2n?????4?142n?1?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134,?c2?，333当n?1时，T1?，

2当n?2时，

又b1?3,b2?w.w.w..s.5.u.c.o.m

11n?2[1?()]24111416Tn??25?(2?3???n)??25?161316161631?16124693??25?16??134821?16w.w.w..s.5.u.c.o.m

?????????????14分