组合证券投资决策模型

组合证券投资决策模型

证券投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。由于投资收益率受证券市场波动的影响，因而可以将其看作一个随机变量。我们可以用一定时期内某种证券收益率X的期望值E(X)来衡量该种证券投资的获利能力，期望值越大证券的获利能力越强；证券的风险可以用该种证券投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来度量，方差越小证券投资的风险越小。

投资者在选择投资策略时，总希望收益尽可能大而风险又尽可能小，但高收益必然伴随着高风险，低风险也只有在低收益下才有可能。所以投资者只能选择在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略，或者选择在自己愿意承受的风险水平的情况下追求使总收益率尽可能大的目标。也可以权衡收益与风险的利弊，综合考虑，作出自己满意的投资决策。降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式，即投资者选择一组证券而不是一种证券作为投资对象，然后将资金按不同的比例分配到各种不同的证券上进行投资以达到分散投资风险的目的。当然，投资策略的确定不是随意的，它应是建立在科学分析的基础上，以一定的准则来确定最满意的组合证券投资策略。

假定投资者选定了n种风险证券，Xi为证券投资期内第

i种证券的收益率，它受证券市场波动的影响,其预期收益率

和风险分别为Xi的数学期望E(Xi)??i及方差D(Xi)??i2 (i=1,2,...,n)。n种风险证券收益率向量为

X?(X1,X2,?,Xn)，它是一个n维随机向量。若n维随机

T向量X的期望向量

??(E(X1),E(X2),?,E(Xn))T

?COV(X1,Xn)???COV(X2,Xn)? ??????D(Xn)??(?1,?2,?,?n)T，协方差矩阵

D(X1)COV(X1,X2)??D(X2)?COV(X2,X1)???????COV(X,X)COV(X,X)?n1n2??11?12??1n?????21?22??2n? ????????????????n1n2nn?且一般假定?为正定矩阵。

n组合证券投资的收益率为R?n?wXii?1i，式中wi为投资

期内在第i种证券投资占总投资额的比例，满足

?wi?1i?1,wi?0（此处假定在不允许卖空条件下的投资）。

nn由于Xi均为随机变量，则R也是随机变量，它的数学期望为

m?E(R)??wiE(Xi)??wi?i，方差为

i?1i?1nnn???2?D(R)?D??wiXi????wiwj?ij，

?i?1?i?1j?1式中?ij为第i种证券与第j种证券收益率的协方差，它

反映了第i种证券与第j种证券收益率的关联（相关）程度，

?ij??ji，?ii??i2(i,j?1,2,?,n)。

若记W?(w1,w2,?,wn)T，FnT?(1,1,?,1)是分量全为1的n维向量。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分

别表示为：

m?WT? ?2?WT?W

由此可以看出，在选定n种投资证券的前提下，n种证券的预期收益率向量?及协方差矩阵?就是已知的(可以根

据统计数据给出估计)，组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量W。

投资者的愿望是使得投资的期望收益率最大，即

maxm?WT?；而又使得风险最小，即min?2?WT?W。

然而，两者都达到是不可能的。投资者只能在达到一定期望收益率的前提下使组合证券投资的风险最小，或者在愿意承受一定风险的情况下使投资的期望收益率最大。建立组合证券投资决策模型：

min?2?WT?W

?WT???0?Ts.t.?FnW?1?W?0?其中?0是给定的预期收益率。该模型的意义是：在达到预期收益率不低于?0的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹（H.M.Markowitz）均值—方差模型。由于均值—方差模型是一个二次规划问题，求解二次规划问题有现成的计算机软件（如LINGO等），求解是十分方便的。

例如，有三种证券的各期收益率数据如下表所示：

期次 1 2 3 4 5 6 证券 14.5% 15.5% 16.5% 15.0% 17.5% 17.0% 证券1 16.5% 17.0% 20.0% 19.0% 17.0% 18.5% 证券2 14.8% 12.8% 13.2% 13.5% 14.5% 15.2% 证券3 三种证券的预期收益率向量?及协方差矩阵?可由原始统计数据估计出来。一般来说，若n种证券，m期投资的收益率统计数据为

x11,x12,?,x1m;x21,x22,?,x2m;…；xn1,xn2,?,xnm;

则可以根据这些统计数据作为样本，求出?i及

?ij(i,j?1,2,?,n)的估计值。记

1mxi??xik (i?1,2,?,n),

mk?11msij?sji??(xik?xi)(xjk?xj) (i,j?1,2,?,n)

mk?1用样本矩作为总体矩的点估计，则

?i?xi (i?1,2,?,n) ??ij???ji?sij (i,j?1,2,?,n) ?所以，可得?及?的估计

?1,??2,?,??n)T?(x1,x2,?,xn)T ??(??ij)n?n?(sij)n?n ??(?由上表中的数据，可算得期望收益率向量及协方差矩阵分别为

??(16%,18%,14%)T

0.242??1.1670.292?????0.2921.583?0.333?

?0.242?0.3330.777???若要进行组合投资，在投资的期望收益率不低于17%的前提下，使投资的风险最小。因此可以建立组合证券投资决策的均值—方差模型：

22min?2?1.167w12?1.583w2?0.777w3?0.584w1w2?0.484w1w3?0.666w2w3

?0.16w1?0.18w2?0.14w3?0.17? s.t?w1?w2?w3?1?w?0,w?0,w?0?123用LINGO8.0求解，输入程序：

model:

min=1.167*w1^2+1.583*w2^2+0.777*w3^2+0.584*w1*w2+0.484*w1*w3-0.666*w2*w3;

0.16*w1+0.18*w2+0.14*w3>=0.17; w1+w2+w3=1; end

输出结果：

Local optimal solution found at iteration: 12 Objective value: 0.7574259 Variable Value Reduced Cost W1 0.2316612 0.000000 W2 0.6341694 0.000000 W3 0.1341694 -0.2056630E-08 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.7574259 -1.000000