第30讲 简单的不定方程

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第30讲 简单的不定方程

算术给予我们一个用之不尽的、充满有趣真理的宝库，这些真理不是孤立的，而是以相互最密切的关系并立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发展这些真理之间的新的、完全以外的接触点。

——高斯

知识方法扫描 当未知数的个数多于方程的个数时，这个方程或方程组就叫做不定方程或不定方程组。

一般来说，不定方程（组）有无数解，但是在一个具体的问题中，它的符合题目条件的解（例如非负整数解）往往是有限的。利用初中数学的知识，我们可以求出某些不定方程的解来。

对于二次不定方程，常通过因式分解和质因数分解转化为方程组来求解。 对于某些不定方程，特别是某些分式不定方程，可以从分析未知数的取值范围入手，利用不等式的性质来确定未知数的值。

经典例题解析 例1．（第十届“缙云杯”初中数学邀请赛初赛试题）现将若干个零件放入至10个盒子内, 要求每个盒子装的零件个数相同, 如果每盒装12个, 结果剩下一个零件未装；如果再增加3个盒子, 所有的零件恰好分装在各个盒子内. 问原有多少个盒子？多少个零件？

解 设原有x个盒子, y个零件, 增加3个盒子后, 每个盒子装a个零件, 根据题意, 得

?y?12x?1,① ?y?a(x?3)②? 消去y, 得：(a－12)x＝1－3a.

显然a≠12, 这是因为若a＝12, 则①、②矛盾.

1?3a35?3 所以 x＝， 即 x＝

a?1212?a由于a, x都是正整数, 因此a只能为11, 7, 5, 此时x分别为32, 4, 2. 但x≥10, 则只取a＝11, x＝32.

于是可得 y＝12x＋1＝385. 答：原有32个盒子, 385个零件.

例2．（2007年山东省初中数学竞赛试题）某校一间宿舍里有若干名学生，其中一人任舍长，元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠给舍长一张贺卡，用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？

解 设这间宿舍里共有x名学生，宿舍楼共有y名管理员（x，y是正整数）依题意有

x(x-1)+xy+y=51

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49?x2?x?51y?, y??x?2?

x?1x?1 因为y 是整数，所以（x+1）是 49 的约数，它可等于±1，±7，±49：

x+1 -49 -7 -1 1 7 49 x -50 -8 -2 0 6 48 y 51 3 -45 51 3 -45 因为x, y 是正整数，仅 x=6, y=3 符合题意。所以这间宿舍里住有6名学生。

例3．（第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 在3和5之间插入6、30、20这三个正整数, 得到3、6、30、20、5这样一串数. 其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如, 3+6＝9, 9可以整数3×6；再如, 6+30＝36, 36可以整除6×30).

请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数, 使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积.

4, ( ), ( ), ( ), 3

解：设4, (x),(y),(z), 3.依题意, 我们有4x=n(4+x)(其中n为正整数).

4n解出x?(其中4－n是正整数),经检验, 当n=2时，x=4；当n=3时, x=12.

4?n类似地, 我们有3z=m(3+z)(其中m是正整数), 解出 z?3m(其中3-m是正整数), 经检验, 仅当m=2时,z=6 3?m于是可以得出4,4,(y),6,3或4, 12, (y), 6, 3.

同理可以得出三组解：(4, 4, 12, 6, 3)或(4, 12, 12, 6, 3)或(4, 12, 6, 6, 3).

例4．（1997年湖北荆州市初中数学竞赛试题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地, 选用边长为x厘米规格的地砖, 恰需n块；若选用边长为y厘米规格的地砖, 则要比前一种刚好多有124块, 已知x, y, n都是整数, 且x, y互质, 试问这块地有多少平方米？

解 设这块地的面积为S, 则 S＝nx2＝(n＋124)y2

即 n (x2－y2)＝124y2

因为x, y, z, n都是自然数, 所以x＞y, 且124y2被x2－y2整除.

又x, y互质, 则x2, y2互质, 从而x2－y2, y2互质. 故124被(x2－y2)整除. 由于124＝22×31, x2－y2＝(x－y) (x＋y), 注意到xI＋y与x－y具有相同的

?x?y?31?x?y?2?31奇偶性, 且x＋y＞x－y＞0. 因此 ? 或?x?y?x?y?2.??因为x, y互质, 所以x＝16, y＝15.

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12y42于是 n?22?90 0x?y所以 S＝nx2?900?162?230400(cm2)?23.04(m2)

答：这块地有23.04m2 例5．（1990年第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛试题）求方程

1115??? xyz6的正整数解.

解 由已知的方程可知x、y、z都为大于1的整数, 不妨设1＜x≤y≤z, 则

111≥≥。 xzy∵解之

15311113???≤，∴?≤。

xxx6xxyz618?x≤, 可确定x＝2、3。 55当x＝2时, 可确定y＝4、5、6； 当x＝3时, 可确定y＝3、4. 综上, 又可确定z＝12、6、6、4.

因此, 当1＜x≤y≤z时, 解(x、y、z)共有(2、4、12), （2、6、6）, （3、3、6）, （3、4、4）四组, 而实质上x、y、z在方程中地位是平等的, 所以原方程的解共15组：

例6．（1992年全国初中数学联赛吉林省预赛试题）设正整数a,b,c都不等于

1,且任何两个都不相等，c是其中最大的数，求满足关系式2abc=2a+5b+10c的a,b,c的值。

解 由2abc＝2a＋5b＋10c, ①

2510?2＝?.

bcacab(1)假设a＜b＜c, 则有

2510 2＜2?2?2 ②

aaa17所以 a2＜＝8.5

2因为a是正整数, 且a≠1, 所以a＝2.于是①式变为4bc＝4＋5b＋10c.即

(2b－5) (4c－5)＝33. ③ 由于b＜c, 可知满足③式的b, c 不存在.

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（2）假设b＜a＜c, 同样可得b＝2.于是①式变为4ac＝2a＋10＋10c, 即 (2b－5) (2c－1)＝15.

满足③式, 且适合a＜c的为a＝3, b＝8. 所以所求a, b, c的值为a＝3, b＝2, c＝8.

例7．（1997年陕西省初中数学联赛试题）已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之和. 求这样的自然数.

解 设所求自然数为x和y, 并设m为它们的最大公约数, 可令x＝ma, y＝mb, 其中m, a, b互质, 则它们的最小公倍数必为mab. 于是根据题意, 得 ma·mb－(ma＋mb)＝m＋mab.

化简得 (m－1)ab＝1＋a＋b (*)

111??≤3, 故 1＜m≤4. 即有 m－1＝

abab 可见m可取2, 3, 4.

(1)当m＝2时（*）化为ab－a－b＝1, 即 (a－1) (b－1)＝2.

?a?2?a?3所以 ? 或??b?3?b?2故此时所求自然数为4和6.

(2)当m＝3时, （*）化为 2ab－a－b＝1, 即 (2a－1) (2b－1)＝3.

?a?1?a?2所以 ? 或??b?2?b?1.故此时所求自然数为3和6.

(3)当m＝4时, （*）化为 3ab－a－b＝1. …… 此处隐藏：4134字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……