泛函分析习题答案2003(3)

泛函分析习题答案

T??1x??2y??T??1x1??2y1,?1x2??2y2,...,?1xn??2yn,...?xyxy?????1x1??2y1,?12??22,...,?1n??2n,...?22nn??

y?x?????1?x1,2,...???2?y1,2,...?2?2???=?1??1??2??2 从而T是线性算子.

???supn?nn?sup?n??n,

所以????l?,l??,且??1. 进一步可以证明??1.

37.设T:C1?0,1??C1?0,1?,使得Tx?t???x???d?,t??0,1?.

0t （1）试求R?T?和T?1:R?T??C1?0,1?; （2）试问T?1?B?R?T?,C1?0,1??吗？

（1）R?T?是满足y?0??0且在?0,1?上连续可微分的函数构成的

C1?0,1?的子空间，且T?1y?y'?t?,t??0,1?。

（2）T?1是线性的，但是无界的。 事实上，?tn?'?ntn?1，蕴含着T?11?n

38.在C[0,1]上分别定义Sx(t)?t?0x(s)ds和Tx(t)?tx(t) (1)试问S和T是可交换的吗? (2)试求Sx，Tx，STx和TSx 修改S，T，ST，TS

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(1)ST(x)?S(tx(t))?t?0sx(s)ds, TS(x)?T(t?0x(s)ds)?t121?10x(s)ds,

故ST?TS，S和T不是可交换的。 (2)Sx??0xds?x, 所以S?1 令x?1，t?[0,1] 则1?sx?sx?s 于是S?1 类似可求：T 39.在

X?B?R??1，ST?1，TS?1。 21上定义范数x?supxt()，并设T：

t?RX?X使得

??0试证明T?B(X,X)。 Tx(t)?x(?t?，其中)证：

?x,y?X，则

T（?1x??2y）=?1x(t-?)+?2y(t-?)=?1Tx??2Ty, 即 T是线性算子 Tx=supt?Rx(t??)=supt?Rx(t)=x，

?T?1

40、证明下列在C?a,b?上定义的泛函是有界线性泛函： （1）

f1(x)??x(t)y(t)dt，y0?C?a,b?固定；

aob（2）f2(x)??x(a)??x(b),?,??R固定 证： （1）线性性略

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令B=maxy0(t)=

t??a,b?y，

0则有 故有

f1(x)??Bxdx=B（b-a）xab，

f1?B（b-a）

（2）略

41、设C1??1,1?上的线性泛函f定义为

f(x)??x(t)dt??x(t)dt，试求f?1001

解：?x?C1??1,1?, f?x??所以

x??1n0?1dt??dt?2x01?，

f?2，

?1，

1n取x?t??t，n为正奇数，t???1,1?则x f?x?由于sup?01n11n112ntdt?tdt?2tdt?2???f??1?0?01n?11?n

2n?2,故f?2. n?1f?2。

综上所述，44.

（1）在C1??1,1?上定义x?maxx?t??maxx'?t?， t?a,bt?a,b???? 试证明?是C1??1,1?中的范数。 （2）试证明f?x??x'?c???c??a?b?1 ?在C?a,b?上定义了有界线性泛函。2?（3）试证明视C1?a,b?为C1?a,b?的子空间时，上面定义的f不再是

有界的。

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证：（1）仅证三角不等式

''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x(t)+y(t)∣'' ?max∣x(t)∣+max∣y(t)∣+max∣x(t)∣+max∣y(t)∣

?∣x∣+∣y∣（2）仅证有界性

'∣f(x)∣=x'(c)?max∣x(t)∣+max∣x(t)∣=∣x∣,∣f∣?1

(3)当c1[a,b]视为c?a,b?的子空间时，（2）中的f不再是有界的，此时?x?c1?a,b?,x?supx(t).对每个n?N，都存在xn?c1?a,b?，使得

'xn(c)?1且maxxn(t)?1 n于是，便有

sup

f(x)x'xn(c)f(xn)???n xmaxxn(t)t3-9