泛函分析习题答案2003

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

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y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

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4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?(x,y)??(y,x)显然成立。

(2)?(x,y)??x(t)?y(t)dtab???x(t)?z(t)dt?z(t)?y(t)?dtba

??x(t)?z(t)dt??z(t)?y(t)dtaabb??(x,z)??(z,y)

5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明

n?n???xi??n?xii?1?i?1?222

2nnn?n?22证：??xi???xi??1?n?xii?1i?1i?1?i?1?

8.试证明下列各式都在度量空间?R1,?1?和?R1,R2?的Descartes积

R?R1?R2上定义了度量

~~?(?2??2)1/2;(3)?~?max??,?? (1)???1??2;(2)?1212证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设x?(x1,x2)，y?(y1,y2)?R1?R2，则

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?(x,y)?[?(x1,y1)??(x2,y2)]?2122121222222?????(x,z)??(z,y)??(x,z)??(z2,y2)?1111112222?????2?????(x1,z1)??(z1,y1)??????(x2,z2)??(z2,y2)???(x,z)???(z,y)??212112222212

111?n?nn222??????2??i??i?????i2?????i2???????i?1??i?1????i?1?????(x,y)?max{?1(x1,y1),?2(x2,y2)} （3）??max{?1(x1,z1)??1(z1,y1),?2(x2,z2)??2(x2,z2)}?max[?1(x1,z1)??1(z1,y1)]?max[?2(x2,z2)??2(x2,z2)]

???(x,z)???(z,y)??

9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么？

C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为

2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑C[0,2?]并确定使得y?B(x,r)的最小r，其中

x?sint,y?cost。

?(x,y)?supsint?cost?supt?[0,2?]t?[0,2?]2sin(t?)?2 4?2-3

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11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A是离散度量空间X的任一子集。

1?a?A，开球B(a,)?{a}?A，故A事开集。

2同样道理，知AC是开的，故A?(AC)C又是闭集。

12．设x0是M?R的聚点，试证明x0的任何邻域都含有M的无限多个点。 证：略。

13．（1）若度量空间R中的序列{xn}是收敛的，并且有极限x，试证明{xn}的每个子序列{xn}都是收敛的，并且有同一极限。

k （2）若{xn}是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列{xn}，

kxnk?x，试证明{xn}也是收敛的，并且有同一极限。

（1） 略

（2） ??，?N，当m,nk?N时，有

?(xm,xn)?kl?2，?(xn,x)?kl?2（{xn}是Cauchy序列且xn)??(xnkl,x)?klk?x）

因此，当m?N时，?(xm,x)??(xm,xn

?2??2??

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18.试证明：Cauchy序列是有界的. 证明：若?xn?是Cauchy序列，则存在有??xn,xn0,使得对于一切n?n0,

??1,因此，对于一切n，有

0000 ??xn,xn??max?1,??x1,xn?,...,??xn?1,xn??

19.若?xn?和?yn?都是度量空间x中的Cauchy列，试证明： ?n???xn,yn?是收敛的。

证：根据三角不等式，有

?n???xn,yn????xn,xm????xm,ym????ym,yn????xn,xm???m???ym,yn?

故，?n??m???xn,xm????ym,yn? 同样有：?m??n???xn,xm????ym,yn? 即：?n??m???xn,xm????ym,yn??0

而R是完备的，则??n?是收敛的。

34.若X是紧度量空间，并且M?X是闭的，试证明M也是紧的。

证明：因为X是紧的，故M中任一序列?xn?有一个在Xn中收敛的子序列?xnk?。不妨设?xnk??x?X，则有x?M。又因M是闭的，所以x?M，因此M是紧的。

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