泛函分析习题答案2003(2)

泛函分析习题答案

第三章 线性空间和赋范线性空间

10.试证明下列都是Rn上的范数 （1）

x1??xii?112n； (2)

?n?x2???xi??i?1???212 ; (3)

x??maxxii;

?nx???xi?i?1?????2是范数吗？

（1）、（2）和（3）的证明略

?nx???xi?i?1?12????2不是范数，不满足三角不等式。

以为例，令x??1,0?,y??0,1?则x?y?1,x?y?4

13.试证明（1）C、C0和l0都是l?的线性空间，其中C是收敛数列集；C0是收敛数列0的数列集；l0是只有有限个元素的数列集。 （2）C0还是l?的闭子空间，从而是完备的。 （3）l0不是l?的闭子空间。 证明：

（2）设x??x1,x2,...??C0，xn??x1?n?,x2?n?,...?,使得

xn?x?n???.则有任意的??0，?N使得对于一切j，

当,时有,又因为，所以当时

从而有

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于是

14.试证在赋范线性空间中，级数级数

的收敛性。

的收敛性，并不蕴含

，故

令， 则，且

于是，但

15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。

证：设{Xn}是X中任一Cauchy列，则?k?N，?nk，s.t.当m，n?nk时，Sn-Sm?2?k。

而且对一切的k，可选取nk?1>nk，从而{Snk}是{Sn}的一个子列，并且令X1=Sn1，Xk=Sn-Snk，则{Snk}是级数?Xk的部分和序列，从而

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收敛

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?Xk??Sk?Sk?1?X1?X1??2?(k?1)?X1?1

k?2k?2??于是?Xk绝对收敛，故?Xk收敛。

不妨设Snk?S?X，由于{Xn}是Cauchy列，故

Sn?S?Sn?Snk?Snk?S?0

又由于{Sn}是任意的，故证明X是完备的。

17.设（X，?1）和（X，?2）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X1*X2在定义范数X=max{X11，X22}后也成为赋范线性空间。

证：（1）X=0?X11=X22=0?X=（0,0）=?

（2）?X=max{?X11，?X22}=?max{X11，X22}=?（3）设X=（X1，X2），y=（y1，y2），则

x2?y22} x?y?max{x1?y11，

X

?max{x11?y11,x22?y22}?max{x11,x22}?max{y11,y22}?x?y

20.（1）若?和?0是X上任意两个等价范数，试证明（X，?）和（X，?0）中的Cauthy序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价

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证：设{Xn}是（X，?）中的任一Cauthy序列，即 ???0，?N?N，当n，m>N时，xn-xm??

由于?和?0是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b 使a???0?b? （*）

于是当n?m>N时，有

xn?xm0?bxn?xm?b?

即xn是（X，?0）中的Cauthy序列。

反之，若{xn}是（X，?0）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证{xn}

是（X，?）中的Cauthy序列。

（2）Rn是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20 (2)的直接证明：

证明在中，范数?1、?2和??等价，其中

x1??xii?1n；x2?(?xi?12n122i)；x??maxxi

i证 1?xi??maxixi，

2 ?x??x2?nx?，

故?2和??等价。

2? 由Cauchy-Schwart不等式，得， ?xii?1n?(?xi)(?1)?n(?xi)i?1i?1i?1n212n12n212

故有 x1?

nx2

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再有 x2?(?xi?1n122i)?[(?xi)]?x1

i?1n122我们得 1x1?x2?x1 n故?1与?2等价

29. 若T：D?T??Y是可逆的线性算子，x1,...,xn是线性无关的，试正明Tx1,...,Txn也是线性无关的.

证：若存在λ1，...，λn∈Ф且不全为零，使得 ?1Tx1?...??nTxn?0,

则由于T?1存在且为线性的，故

T?1??1Tx1?...??nTxn???1x1?...??nTxn?0,

与x1,...,xn线性无关矛盾。

32.若T??是有界性算子，试证明对满足x有Tx?T?1的任意x?D?T?，都

.

?Tx思路：由Tx

33.设Τ：

即证结论。

∞

→

∞

使得Tx???x1,?x2?,...?，试证明T?B?l?,l??. 2?证：设x??x1,x2,...,xn,...?，y??y1,y2,...,yn,...?，则

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