北京邮电大学版 线性代数 课后题答案(3)

354527001001?9?r2?r3?????17??r2?r3?13??23?3?3???1?2??

即

?23?(?1,?2)?(?1,?2,?3)?3?3?,?????1?2??

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.

（B类）

1.A

2.B 3.C 4.D

5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1) α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2) α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.

（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.

8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.

证明:因为α1，α2，…，αn，αn+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.

9. 设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.

证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.