北京邮电大学版 线性代数 课后题答案(2)

1由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-3.

16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

1743??1122?021553132????203?154134???2048?； (2)?1104??1?????2???3?????,?,?【解】(1) 矩阵的行向量组?4?的一个极大无关组为123;

??1?????2???3?????,?,?(2) 矩阵的行向量组?4?的一个极大无关组为124.

17. 集合V1＝{(

为什么?

?25?75??75?(1)?25319494321??1??3???1?.

x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否构成向量空间?

【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设则

??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)

因为

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0,kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,

????V1,k??V1,故V1是向量空间. 所以

18. 试证：由【证明】把

?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.

?1,?2,?3排成矩阵A=(?1,?2,?3),则

110A?101??2?0011,

所以

?1,?2,?3线性无关，故?1,?2,?3是R3的一个基，因而?1,?2,?3生成的向量空间恰为R3.

219. 求由向量1的向量空间的一组基及其维数.

??(1,2,1,0),??(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生

【解】因为矩阵

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?11314??11314??11314??21415??0?1?2?1?3??0?1?2?1?3????????,???11326??00012??00012???????024140241400000?????? ?,?,?∴124是一组基，其维数是3维的.

20. 设

?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),证明:

L(?1,?2)?L(?1,?2).

【解】因为矩阵

A?(?1,?2,?1,?2)0??1120??0?1?31?0?11?????,13?1??0000????13?1??0000?

?,??,??,??,?由此知向量组12与向量组12的秩都是2，并且向量组12可由向量组12线性表出.

由习题15知这两向量组等价，从而

?1?1???0??012?1,?2也可由?1,?2线性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).

?21. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)?1?(1,0,1),?2?(?1,0,0)?3?(0,1,1)下有相同的坐标.

(2)?1?(0,?1,1),?2?(1,?1,0)?3?(1,0,1)

?【解】设在两组基下的坐标均为(

x1,x2,x3)，即

?x1??x1???(?,?,?)?x?,??(?1,?2,?3)?x2123?2??????x3???x3???1?10??x1??011??x1??001??x????1?10??x????2????2???101????101????x3????x3??即

求该齐次线性方程组得通解

?1?2?1??x1??111??x??0,???2???000????x3??

x1?k,x2?2k,x3??3k (k为任意实数)

故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).

??(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)为R3的一个基，并把?1?(5,0,7),

22. 验证1?2?(?9,?8,?13)用这个基线性表示.

【解】设 又设 即

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2),

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3,

?x11(?1,?2)?(?1,?2,?3)??x21??x31x12?x22??,x32??

记作 B=AX.

则

?1235?9??12r2?r1(A?B)???1110?8??????03??????0327?13???03?1235?9??1作初等行变换?0327?13????????0??????002?2?4???0?,?,?因有A?E,故123为R3的一个基，且 …… 此处隐藏：90字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……