[提分必做]高中数学 第一章 三角函数章末复习课学案 新人教A版必(2)

归纳升华

1．求解析式的方法：A＝

ymax－ymin

2

，k＝

ymax＋ymin

2

2π

，ω＝，由“五点作图法”中方法Tπ3

令ωx＋φ＝0，，π，π或2π求φ.

22

2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．

[变式训练] 函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的

2一个对称中心是( )

A．(0，0) C.?

B．(π，0)

x?π，0?

??2?

x?π?D.?－，0?

?2?

解析：函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数y＝

2

?1??1π?sin?（x＋π）?＝sin?x＋?

2??2??2

1

＝cos x的图象，它的一个对称中心是(π，0)．

2答案：B

专题四 三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．

π??[例4] 已知函数f(x)＝2sin?2x＋?＋a＋1(其中a为常数)． 6??(1)求f(x)的单调区间；

?π?(2)若x∈?0，?时，f(x)的最大值为4，求a的值；

2??

(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．

πππππ

解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

26236πππ3π?π?所以函数f(x)的单调增区间为?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋6262?3?π2π

2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

63

2π?π?所以函数f(x)的单调减区间为?＋kπ，＋kπ?

3?6?

6

(k∈Z)．

πππ7π

(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，

2666π?1?所以－≤sin?2x＋?≤1，

6?2?

所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1， ππ

(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，

62ππ

所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z.

36所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是

???π

?x?x＝＋kπ，k∈Z?.

6???

归纳升华

1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．

2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．

[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f?

?23π?＝( )

??6?

131A. B. C．0 D．－ 222

解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，

又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f?

?5π?＝0，

??6?

?π??π??π?即f?－＋π?＝f?－?＋sin?－?＝0， ?6??6??6??π?1所以f?－?＝，

?6?2

所以f?

?23π?＝f?4π－π?＝f?－π?＝1.

????6??6????6?2

答案：A

专题五 转化与化归思想

化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)

7

化归为简单的y＝sin x来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．

1?π2?

[例5] 求函数y＝sin?－x?的单调区间．

2?43?1?2π?解：将原函数化为y＝－sin?x－?.

4?2?3π2ππ

由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，

2342

39

得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递减．

88

π2π3921

由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时

234288函数单调递增．

39??故原函数的单调递减区间为?3kπ－π，3kπ＋π?

88??(k∈Z)，

921??单调递增区间为?3kπ＋π，3kπ＋π?(k∈Z)．

88??归纳升华

1．求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数是关键．

2．在求形如y＝Asinx＋Bsin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．

π??3π??sin?α－?cos?＋α?tan （2π－α）

2??2??

[变式训练] 已知函数f(α)＝.

tan（α＋π）sin（α＋π）(1)化简f(α)；

π?π?15π3π??(2)若f(α)·f?α＋?＝－，且≤α≤，求f(α)＋f?α＋?的值； 2?2?842??π?π???(3)若f?α＋?＝2f(α)，求f(α)·f?α＋?的值．

2?2???－cos α·sin α·（－tan α）

解：(1)f(α)＝＝－cos α.

tan α·（－sin α）π?π???(2)由(1)知f?α＋?＝－cos?α＋?＝sin α， 2?2???π?11?因为f(α)·f?α＋?＝－，即cos α·sin α＝， 2?88? …… 此处隐藏：390字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……