[提分必做]高中数学 第一章 三角函数章末复习课学案 新人教A版必

第一章 三角函数

章末复习课

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[警示·易错提醒]

1．关注角的概念的推广

(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．

(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．

2．确定角所在象限的关注点

由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α

1

<0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．

3．关注正切函数的定义域

??π?(1)正切函数y＝tan x的定义域为?x∈R?x≠kπ＋，k∈Z?，不可写为{x|x≠k·360°

2???

＋90°，k∈Z}．

(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点

由平方关系sinα＋cosα＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．

5．正确应用诱导公式

π

(1)明确诱导公式的基本功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，

2实现变名、变号或变角等作用．

(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域

(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1.

???π

(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即?x?x≠kπ＋，k∈Z?.

2???

2

2

7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性

(1)要求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的相应单调区间，再把其中的“x”用“ωx＋φ”代替，解关于x的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A的正负．

(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.

专题一 三角函数的概念

三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．

α?αα? [例1] (1)设角α属于第二象限，?cos ?＝－cos ，试判定角属于第几象限．

2?22?(2)求函数y＝3tan x＋3的定义域．

π

解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，

2

2

παπ

所以kπ＋<

422α

当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；

2α

当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．

2α?αα?又?cos ?＝－cos ≥0，所以cos ≤0. 2?22?

α

所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．

2α

综上所述，是第三象限角．

2(2)3tan x＋3≥0，即tan x≥－所以kπ－

3. 3

3tan x＋3的定义域为

ππ≤x

???ππ

?x?kπ－≤x

62???

归纳升华

α

1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的

2α

集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．

2

2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．

[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；

?π?(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈?，π?，求α的正切值． ?2?

ππ

解：(1)因为θ为第四象限角，所以0

22所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.

?π?(2)因为θ∈?，π?，所以cos θ<0，

?2?

所以r＝x＋y＝9cosθ＋16cosθ＝－5cos θ，

2

2

2

2

y4

故sin α＝＝－，

r5

3

x3y4

cos α＝＝，tan α＝＝－.

r5x3

专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式

在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．

2＋tan（θ－π）

[例2] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的

1＋tan（2π－θ）值．

2＋tan θ

解：法一：由已知＝－4，

1－tan θ

所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ 4sin θcos θ－sinθ－3cosθ＝

4sin θcos θ－sinθ－3cosθ4tan θ－tanθ－3

＝＝ 222

sinθ＋cosθtanθ＋18－4－31＝. 4＋15

2＋tan θ法二：由已知＝－4，

1－tan θsin θ

解得tan θ＝2，即＝2，

cos θ所以sin θ＝2cos θ，

所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cosθ11

cosθ＝2＝＝. 22

sinθ＋cosθtanθ＋15

2

2

2

2

2

2

2

归纳升华

三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1π22

＝sinα＋cosα(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)

4若式子中有角

kπ

2

，k∈Z，则先利用诱导公式化简．

[变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： 1

(1)2； 2

sinα－sin αcos α－cosα

4

322

(2)2sinα－sin αcos α＋5cosα.

2

sinα＋cosαtanα＋14＋1

解：(1)原式＝2＝2＝＝5. 2

sinα－sin αcos α－cos αtan α－tan α－14－2－1322

2sinα－sin αcos α＋5cosα

2

(2)原式＝ 22

sinα＋cosα32

2tanα－tan α＋5

2

＝ 2

tanα＋13

2×4－×2＋5

2

＝＝2.

4＋1

专题三 三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．

[例3] 函数y＝Asin(wx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

2

2

2

π??A．y＝2sin?2x－?

6??π??B．y＝2sin?2x－? 3??

?π?C．y＝2sin?x＋? 6???π?D．y＝2sin?x＋? 3??

Tπ?π?π2π

解析：由图象知＝－?－?＝，故T＝π，因此ω＝＝2.

23?6?2π

ππ?π?又图象的一个最高点坐标为?，2?，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故

32?3?π?π …… 此处隐藏：1438字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……