2009年陕西省高考理科数学试卷及答案(2)

已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????2?2?,?2). 交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(32(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[17、解（1）由最低点为M(）的图象与x轴的

,]，求f(x)的值域.

122??2?,?2)得A=2. 3?T?2?2???2 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T??，??T?2222?2?4?,?2)在图像上的2sin(2???)??2,即sin(??)??1 由点M(3334??11????2k??,k?Z ???2k??故 326又??(0,,故f(x)?2sin(2x?)

266????7??2x??[,] （2）?x?[,],　　　　122636当2x??),?????????7?=，即x?时，f(x)取得最大值2；当2x?? 62666?即x?时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2] 2A1 C1

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，

B1 AC?AA1?3，∠ABC=600.

(Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。

18.（本小题满分12分）

解答一（1）证： ?三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

B A C ?AB?AA1

在?ABC中，AB?1,AC?3,?ABC?600,由正弦定理?ACB?30

0??BAC?900即AB?AC

AB?平面ACC1A1,又AC1?平面ACC1A1即AB?AC1

（2）解如图，作AD?AC1交AC1于点D点，连结BD， 由三垂线定理知BD?AC1

??ADB为二面角A?AC1?B的平面角

在Rt?AAC1?AC3?1中，AD?AAAC?3?6 162Rt?BAD中,tanADB=ABAD?63??ADB=arctan63,即二面角A?ACB的大小为arctan61?3解答二（1）证?三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?600，

由正弦定理?ACB?300

??BAC?900即AB?AC 如图，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0),B(1,0,0)C(0,3,0),A1(0,0,3)

????AB??(1,0,0),????AC1?(0,3,3)????AB??????AC1?1*0?0*3?0*(?3)?0 ?AB?AC1(2) 解，如图可取m????AB??(1,0,0)为平面AAC1的法向量 设平面A1BC的法向量为n?(l,m,n)，

则???BC??n?0,????AC????1?n?0,又BC?（?1，3，0） ?????l?3m?0?l?3m,n?m ??3m?3n?0不妨取m?1,则n?(3,1,1)

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??

222222m?n5(3)?1?1?1?0?0?二面角A?AC的大小为arccos1?BD19．(本小题满分12分)

15 5 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如下：

? 0 p

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

1 2 3 a 0.1 0.3 2a （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

??的概率分布为

? P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A“两个月内有一个月被投诉2次，1表示另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

1P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]2?0.32?0.09?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

a2ax2?a?220. 解（Ⅰ）f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

ax2?a?2（Ⅱ）f'(x)?,

(ax?1)(1?x)2∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??). ②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a处取得最小值f()?f(0)?1, aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21．（本小题满分12分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率

abe?525，顶点到渐近线的距离为。 25（I）求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、

????????1二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。

3

21．（本小题满分14分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为. 25（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第

????????1一，二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

3解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为25 ，5∴aba2?b2?25ab25,即?, 5c5?ab25?a?2,?,?5??c?b?1,?y25?c?x2?1. , 得由?? ∴双曲线C的方程为

?42?a?c?5,?c2?a2?b2???（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.

设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

????????m??n2(m??n),), 由AP??PB得P点的坐标为(1??1??y2(1??n)22?x?1,化简得mn?. 将P点坐标代入44?设∠AOB?2?,?tan(?114??)?2,?tan??,sin??,sin2??. 2225