ANSYS,workbench,有限元模拟，精华教程(2)

来源：网络收集时间：2026-09-05

导读：方向的围道积分. 最后，对u∈Wn+1,∞(Ω′)，注意到在相邻两单元e及e′上 aij(e)-aij(e′)=O(h),bj(e)-bj(e′)=O(hn+1)，并对所有单元求和，则所有在Ω内的线积分相互抵消，并导致 (13) 3 对偶数m的定理证明引理1

方向的围道积分.

最后，对u∈Wn+1,∞(Ω′)，注意到在相邻两单元e及e′上

aij(e)-aij(e′)=O(h),bj(e)-bj(e′)=O(hn+1)，并对所有单元求和，则所有在Ω内的线积分相互抵消，并导致

(13)

3 对偶数m的定理证明

引理1［12,1］令g(x；z)及gh(x；z)∈

分别是A的正规化Green函数及其有限元投

影，则‖g-gh‖1,1,Ω?ch｜lnh｜,‖g‖2,1,Ω+‖gh‖2,1,Ω?c｜lnh｜,‖gh‖1,1,Γ?c｜lnh｜. 若参变点z远离曲线Γ，则有内估计‖g‖2,1,Γ+‖gh‖2,1,Γ?c｜lnh｜.

引理2 若函数r=O(h)在Ω上分片连续且在任意单元的每条边上与1正交，则

A(r,gh)=O(hα)‖gh‖2,1，Ω=O(hα lnh).

证用记aDνgh在每条边上的平均值，用A*表示A的共轭算子. 利用Green公式，r的正交性，Bramble-Hilbert引理与逆估计，直接可得所需估计. 现在转向(4)式的证明. 将导出误差的基本表示

由引理2，A(Rn,gh)=O(hm+2lnh)，剩下估计A(Fn,v). 首先考虑低次项

因在e上vt=β10+O(2v),在有公共边

(14)

S0(对S1,S2类似)的共轭单元e′上v′t=-β′10+O(2v),β′10=-β10,因此在Ω′内的所有单元积分相互抵消，仅剩下宽度为O(h)的边界层Bh上的单元积分，即

这里及下面总记rh=O(hm+2)‖v‖2,1,Ω′，并使用了嵌入不等式‖v‖1,1,Γ′?C‖v‖2,1,Ω′. 类似地也有

其次，因在E上Fn⊥1，它的原函数记为Q=D-1lFn=O(hn+1)，

Q(±1)=0. 于是用Green公式及在E上分部积分后有

记偏差δa=ae-a=O(h)，并利用逆性质和上述低阶项估计，有综合这些估计及(13)式，推出(14)式.

最后，由假设在Γ′上Dm+1u=0，于是在(14)式中的线积分消失. 取v=gh∈一致估计. 因此，所需的结果(4)式可从(14)及(11)式推出.

，得到

4 三角形上的L-型分解

利用L- 型多项式lj(s)，在E上构造基

p1=｛1,t,s｝, pj=｛pj0, pj1, pj2｝, pj0=lj(t)， pj1=lj(s), pj2=(lj-1(-t)(s+1)-lj-1(s)(t+1)-s-t)/2, j=2,3,?,n，

(15)

且pji由(7)式定义.在S0,S1,S2上分别有p1=｛1,t,-1｝,｛1,-1,s｝,｛1,-s,s｝，对偶数j有pj=｛lj(t),1,1｝，｛1，lj(s),1｝,｛lj(s),lj(s),lj-1(s)s｝,对奇数j有pj=｛lj(t),-1,-t｝, ｛(-1)j,lj(s),1｝,｛(-1)jlj(s),lj(s),lj-1(s)s｝，这里

将任意n次多项式u∈Pn写为

u=b00+b10t+b11s+Ln(b*,p)+Hn(b,p),

比较u在S0,S1,S2上的系数，得到3n-3个方程

记dj=bj2-(-1)jbj0-bj1.首先得到并表

γj+2,jdj+2+?，将它们代入u，合并同类项，得到dj的基gj2=γjjpj2+γj,j-2pj-2,2+?+γj2p22(对偶数j)或者+γj3p32(对奇数j). 由gj2(对偶数j?2)的构造可知，gj2在S2上将变为

gj2=即所有中间项彼此抵消. 于是gj2(对偶数j)在S0,S1上取相同的常数

Kj=γ

+类似地gj2(对奇数j?3)在S0,S1,S2上分别取

这里现在定义所需的新基

(16)

它在S0,S1,S2上分别取0，0，lj(s)-1(对偶数j)或0，0，lj(s)-s(对奇数j). 于是系数b00,b10,b11能由顶点值uj=u(zj) (j=1,2,3)确定，并得到基本分解式这里

u=L(s,t;u)+Ln(b,)+Hn(b,p),

(17)

于是n次多项式u∈Pn在S0,S1，S2上分别变为

类似可作出共轭单元E′上的展开.

5 超收敛分析：奇数m?3

对双偶函数n=m+1=2l(即u(-s,-t)=u(s,t))，考虑它的m次逼 …… 此处隐藏：20字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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