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来源：网络收集时间：2026-09-05

导读：三角形有限元的超收敛性陈传淼单位：陈传淼(湖南师范大学计算研究所，长沙 410081 1998-11-02收稿 *数学天元基金重点资助项目(批准号：19331021) * 摘要基于三角形上的两类正交展开，对二阶椭圆问题研究了任意m次三角形有限元解(对偶数m)及平均梯度(对奇

三角形有限元的超收敛性

陈传淼

单位：陈传淼(湖南师范大学计算研究所，长沙 410081 1998-11-02收稿 *数学天元基金重点资助项目(批准号：19331021)

摘要基于三角形上的两类正交展开，对二阶椭圆问题研究了任意m次三角形有限元解(对偶数m)及平均梯度(对奇数m)在对称点上的超收敛性. 除此之外，再没有其他与方程系数无关的超收敛点.

关键词超收敛三角形元任意次

设在平面域Ω上三角形剖分是拟一致的，记椭圆方程的解u及满足

这里假定双线性型

为m次三角形有限元子空间. 二阶

在Ω的边界Γ上有u=v=0. 三角形有限元(Ritz投影)

(1)

用Wk,p(Ω)记Sobolev空间，范数为‖u‖k，p，Ω.

单元正交分析(EOA)的思想［1，2］是构造u的一个较好的展开uI∈uh，由(1)式，这等价于要求R=u-uI近似正交于

(2)

，使得uI超接近于

A(uh-uI,v)=A(u-uI,v)=O(hm+2)‖v‖2,1,Ω， m?2，

这里网格范数‖v‖2,1,Ω=∑e‖v‖2,1,e. 若(2)式成立并取v=gh∈下面引理1)，它导致在Ω中一致的超收敛估计

(离散Green函数，见

(uh-uI)(z)=O(hm+2lnh), D(uh-uI)(z)=O(hm+1lnh), m?2. (3)

于是，R及其梯度DR的根正好分别是uh与Duh的超收敛点. 故单元正交分析由两部分组成，即用单元上的某种正交展开来构造所需的逼近uI,并用单元之间的消除技术证明(2)式.

最基本的工具是在区间e=(-h,h)上的L-型与M-型正交展开. 仍用u(t)记u(x)=u(ht),t∈(-1,1)，用D记对x求导，用记对t求导. 显然，iu=hiDiu=O(hi). 引进Legendre正交多项式lj(t)=i(t2-1)j/(2j)!!(注意lj(±1)=(±1)j). 对t积分后，得M-型多项式［3］：M0=1，M1=t,?,Mj+1=j-1(t2-1)j/(2j)!!. 若i-j=0或±2, 则有(Mi,Mj)≠0，否则(Mi,Mj)=0. 显然对n?2有Mn(±1)=0.

为构造前述所需的展开，在过去20年中人们一直基于这样一种性质，即有限元解在每单元的顶点上有好的精度，于是常常使用M-型展开. 为了处理一般方程(组)，提出了单元消除技术，并研究了多种单元的整体超收敛性，如任意次一维元与矩形元，三角形线元与二次元［4～6］等. 由于奇次三角形元在每个单元的顶点没有超收敛, 奇次一维元与矩形元L2投影也是如此［7］. 为此，必须引进某些新思想和L-型展开.

文献［8～10］对高次三角形元得到了局部对称点上的内部超收敛性. 本文将用单元正交分析导出某些深刻结果.

定理设u∈Wm+1,2(Ω)∩Wm+2，∞(Ωλ)，Ωλ=｛x∈Ω,dist(x,Ω)＞λ＞0｝，且uh∈是u的m次三角形有限元投影. 设对某个l＞0，下列负范数估计成立：对偶数m?2有 ‖u-uh‖-l,Ω=O(hm+2)，或对奇数m?1有O(hm+1). 设剖分在Ωλ上是均匀的，用Th记所有单元顶点与边中点的集合，则在z∈Th∩Ω2λ上，

或者平均梯度

(u-uh)(z)=O(hm+1lnh) (奇数m?1).

(5)

(u-uh)(z)=O(hlnh) (偶数m?2),

m+2

(4)

除此之外，uh及Duh在所有单元中再没有其他与A的系数aij无关的超收敛点.

本文结果能推广到二阶椭圆组. 为了研究内部超收敛性，利用适当光滑的截断函数ψ∈

在Ωλ中ψ≡1，可构造对某个l＞0, 有［11］

‖uh-uh‖1,∞，Ω2λ?C(h2m‖u‖m+1,Ωλ+‖u-uh‖-l,Ω),

由此，uh的内部超收敛性能从局部投影uh的超收敛导出. 不失一般性，下面只要讨论u∈Wm+2,∞0(Ω′)就够了，这里Ω′=Ωλ，且Γ′=Ω′.

及其局部的Ritz投影

1 在三角形上的M-型分解

记参考三角形E=｛(s,t)｜-1＜s,t＜1,s+t＜0｝，3个顶点是z1=(-1，-1)，z2=(1,-1)，z3=(-1,1)，且3边是E=S0+S1+S2，这里S0=｛s=-1,-1?t?1｝，S1=｛t=-1,-1?s?1｝，S2=｛t=-s,-1?s?1｝. 任意n次多项式u∈Pn包含Nn=(n+1)(n+2)/2项，其中3n项由u在E上的值确定，而其他Nn-2=Nn-3n项由u在E内的值确定. 对n?3次齐次多项式｛sn,sn-1t,?,stn-1,tn｝，显然sn与tn由u在E上的值确定. 因为线性组合

sn-1t-(-1)nstn-1=st(sn-2-(-1)ntn-2)总包含着因子s+t，于是它能组成在E上为0的内部基(s+1)i(t+1)j(s+t). 但sn-1t+(-1)nstn-1仍由u在E上的值确定. 现在利用M-型多项式Mj(t)在E上定义如下的基：

p1=｛1,t,s｝, pj=｛pj0,pj1,pj2｝， pj0=Mj(t), pj1=Mj(s), j?2， p22=-(s+1)(t+1), pj2=(Mj-1(-t)(s+1)-Mj-1(s)(t+1))/2, j?3，

pji(s,t)=(s+1)j-i+1(t+1)i-2(s+t), 3?i?j?n.

注意在S0,S1,S2上分别有

p1=｛1,t,-1｝, ｛1,-1,s｝, ｛1,-s,s｝,

pj=｛Mj(t),0,0｝, ｛0,Mj(s),0｝, ｛(-1)jMj(s),Mj(s),pj2(s,-s)｝, 2?j?n, 这里

(6) (7)

特别地，对j?2, 在3个顶点上pj=｛0,0,0｝. 将任意n次多项式u∈Pn写为形式

并对j?2在S0,S1，S2上分别定义它的线积分

bj0=j1(ut(-1,t),lj-1), bj1=j1(us(s,-1),lj-1), bj2=j1(s(u(s,-s)),lj-1),

(8)

(9)

这里且比较u在S0，S1，S2上的系数，得3n-3个方程

记dj=bj2-(-1)jbj0-bj1. 首先有

γj+2,2dj+2+?，这里最后一项是γj,n-1dn-1(对奇数j)或者γ式并合并dj的同类项，得到一个基本分解式

然后逐个确定

dn(对偶数j). 将它们代入(8)

(10)

这里L(s,t;u)=((u2+u3)+(u3-u1)t+(u2-u1)s)/2,bj=｛bj0,bj1,bj2｝,j=｛j0,j1,j2｝,

j0=Mj(t)-(-1)j2,j1=Mj(s)-j2,j2=γjjpj2+γj,j-2pj-2,2+?. 基j在S0,S1,S2上分别取｛Mj(t),0,0｝,｛0,Mj(s),0｝,｛0,0,Mj(s)｝. 在有边

及顶点

的共轭三角形(对

类似)，并写

E′=｛-1＜s,t＜1,s+t＞0｝上，定义相应的基

出n次多项式u=L(-s,-t;u)+Ln(b′,′)+Hn(b′,p′). 注意到lj(-t)=(-1)jlj(t)，可知在E′上的系数除中起着重要作用.

有类似于bji的表示式，但带有因子(-1)j. 此性质在以后的单元消

2 超接近的多项式：偶数m=2l?2

设且ue是它在单元e上的m次逼近. 由于低次多项

式总可并入到ue中，不失一般性，将误差写为R=u-ue=L(s,t;R)+Ln(b,)+Hn(b,p)，这里

bnj(j=0,1,2，?，n)由u的最高次系数给定，而其余的系数待定.

首先要求在E上R⊥Mj(j=0,2,4,?,m),于是R变为R=Fn=∑j=3,5,?,nbjj+Hn(b,p),这里使用了3l+3个约束.当m=2时已得所需的展开(注意对m=1有R=b22).当m?4时，引入

这里常数

常数有

其次，进一步要求

在某个固定的x0∈e上给定,且对任意u≠

这里又使用了3l-3+Nm-2个约束(总共是3(l+1)+3(l-1)+Nm-2=Nm个约束).显然，在E上Fn⊥1且在E中Fn⊥P1.由于基函数｛j,pji｝(j＜n)的线性无关性，得到一个唯一可解的线性方

程组，且这些系数｛bj，bji｝(j＜n)能用已给的常数线性表示.于是

当m?4时它们也依赖于A的系数，这导致ue穿过e时有间断.于是所需的误差展开为

这里Fnj在E上仍是M3，M5，?,Mn的线

性组合，它们有公共根s(或t)=0,±1(对称点). 当m?4，它们的切向导数没有公共根. 此外，这些Fnj(或DFnj)在E内 …… 此处隐藏：2945字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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