新课标 - 回归教材数列

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新课标——回归教材数列

新课标回归教材 数列 *N (或它的有限子集{1,2,3,数列的通项公式也就是相应函数的解析式

若{}递增,则实数义域为正整数集

的通项为

的取值范围1、 数列的概念:数列是一个定的特殊函数典例:1)已知

则

在数列{}na的最大项为125; 2) 数列{}na的通项为则na 与

的大小关系为

数列

4) 一给定函数则该函数的图象是

的图象在下列图中,并且对任意

由关系式

得到

的数列{ A B C D 2. 等差数列的有关概念: (1) 等差数列的判断方法: ①定义法

为常数, nN ） 、 ②等差中项法

满

足

典例: 设{}na是等差数

列, 求证: 以

等差数列. (2) 等差数列的通项

为通项公式的数列{ }nb为

或()nmaanm

典例:1) 等差数列{2) 首项为-24 的等差数列, 从第 10

项起开始为正数, 则公差的取值范围是8}na中则通项和中

等差数列的前 n . 典例:1) 数列 {}na

则1a -3 , n =

1 / 12

10 ; 2) 已知数列 {}na的前 n 项和列（答

{||}na

的

前

n

项

和

求数.nT） . (4)

等差中项: 若 , ,a A b 成等差数列, 则 A 叫做a 与 b 的等差中项, 且

提醒: (1) 等差数列的素. 只要已知这 5 个元

素中的任意 3 个, 便可求出其余 2 个, 即知 3 求 2. ,nna S 公式中, 涉及到 5 个元素:1, , ,a d n a S 其中,nn1,a d 称作为基本元岳阳县一中 2019 届高三◆回归教材 第 2 页 共 7 页 (2) 为减少运算量, 要注意设元的技巧: 如奇数个数成等差, 可设为,偶数个数成等差, 可设为,3. 等差数列的性质: (1)当公差等差数列的 ①通项公式

若公差

（公差为 2 d ） （公差为 d ） ; ,,ad

为递增等差数列

是关于 n 的一次

所以, 1)若公差

时,

若公差0d

函数,且斜率为公差 d ; , 则{, 则{, 则{(}na}na为递减等差数列, }na为常数列

前n 和

是关

于 n 的二次函数且常数项为 0. 提醒:若(3)当 m20)nSanbnc

时

为等差数列＝ 27 ; 0,且都大于

不是等差数列,但从第二项起(含第二项)

特别地,当

都大于 时,则有

典例:1)等差数列{}na中

时,则有在等差数

则 n

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列中是其前n 项和,则( B ) 10S

都大

若{}na,{ }nb

、 p 是非零常数)、*{}( ,)p 也成等差数列(注: 其新公而{典例:等差数列的前 n

都小于 0,都小于 0,1112,S19都小于 0,都小于 于

都大于

是等差数列,则{}nka、

、

差与原数列的公差关系为

项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 225 ; (5) 等差数列{}中,项数为偶数 2n 时, Sn aa成等比数列; 若{}na是等比数列,且为奇数

则{lg}na是等差数列时

奇偶中

偶奇－

项数

中(这里 a

中即na );:(1):SSkk奇偶. 典例:1)在等差数列中,S11＝22,则2) 项数为奇数的等差数列{6a ＝ 2 ; 中

奇

偶,求此数

列的中间项与项数(答: 5;31). (6)若等差数列{}na,{ }nb的前 n 和分别为nnA B、,则2121(21

典

例:若{na },{nb }是等差数列,它们前n 项和分别为nS ,nT ,若

则

等差数列{}na的前

n 项和nS 的最值求法: 法一(二次函数法) :由

解析式结合二次函数图象求解; 法二(通项比

较法):具体操作如下 ①当

的最大值;第一,若

时,设前 m 项和最大,则应满足

时,可求时,显然

特别地,当

3 / 12

当时,可求若

时,则

若

特别地,当

的最小值;第一,若时,显然

时,设前 m 项和最小,则应满足

时,则

典

例:1)等差数列{2) 若{}的最大正整数 n 是 4006 ; 4. 等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法

中,125a

则数列前 13 项和最大,最大值为 169 .

是等差数列,首项

则使前 n 项和

成立①定义法1(nnq qa为常数） ,其中等比中项法

或

注是数列{}na等比的 必要不充

项,

分条件 .(想想为什么?) 典例:1)一个等比数列{na }共有 奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则中

且1a =1,若

或

为56; 2) 数列{}na

求证:数列

{ }nb是等比数列. (2)等比数列的通项典例:数列{}na等比公比 q .(答时

当

时

求

求n 和

或 2) (3)等比数列的前 n 和: 当

典

（答:44） ; 2)

特别提

例:1)等比数列中

已知{}na等比,其123,2,3SSS 成等差数列,则公比

醒: 等比数列前n 项和公式有两种形式, 为此在求等比数列前n 项和时, 首先要判断公比 q 是否为 1, 再由 q 的情况选择求和公式

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的形式, 当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 和两

种情形讨论求解. （4） 等比中项: 若 , ,a A b 成等比数列, 那么 A 叫做a 与 b 的等比中项. 分提醒: 不是任何两数都有等比中项, 只有同号两数才存在等比中项, 且有两个典例:两个正数 , ()a

的等差中项为 A , 等比中项为 B , 则 A 与 B 的大小关系为 A提醒:(1) 等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素:q 称作为基本元素.只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求

、 q 、 n 、na 及

nS ,其中1a 、(2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为,22,, ,,a aa aq aqqq（公比为 q ） ;但偶数个数成等比时,不能设为33,,,a aaq aqqq,,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数.(答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5. 等比数列的性质: (1)当 当}中

则log2q

时,则有等比数列时,则有

特别地,中,若典例:1)

在等比数列{na512,公比 q 是整数,则

岳阳县一中 2019 届高三◆回归教材

第 4 页 共 7 页 (2)若{}na是等比数列,则{||}na、*{}( ,)p

、 {}nka成等比数列; 若{} { }b、nna成等比数列, 则

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