2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题11：选择填空(3)

F2E 逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2B＋BC=5。 10.（上海市2011年4分）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上， 那么m＝ ▲ ． 【答案】80°或120°。

【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。

【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°＜m＜180°，故点B可落在AB边上和AC边上两种情况。

当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE是等腰

三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得m＝∠BDE＝80°。

BF1C当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在Rt△CDH中，由已知BD＝2CD，即

DH＝2CD，得∠CDH的余弦等于

1，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据2邻补角定义得m＝∠BDH＝120°。

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11.（上海市2012年4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ．

【答案】﹣1

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AC=

=

=

，

∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处， ∴∠ADB=∠EDB，DE=AD， ∵AD⊥ED，

∴∠CDE=∠ADE=90°， ∴∠EDB=∠ADB=

=135°，

∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°， ∵∠C=90°，

∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴CD=BC=1，

∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1． 故答案为：﹣1． 三、解答题

1.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图1

探究：设A、P两点间的距离为x．

图2

图3

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（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用） 【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）。

∴NP＝NC＝MB。

∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。 ∴PQ＝PB。

（2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。 ∴PT＝CB＝PN．

又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。

∴S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN

＝CN＝（1－

2

2122x）＝x－2x＋1

22

∴y＝

212

x－2x＋1（0≤x＜）。 22（3）△PCQ可能成为等腰三角形。

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0。

②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如

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