第1章 随机信号概论（微分与积分）

1．8 随机过程的微分与积分

把t作为自变量，X(t)是一特殊的函数（随机函数族）。对于函数，有三大数学运算：连续、微分、积分。

1．8．1 随机过程的连续性

问题：函数的连续性的形式为：limf(t??t)?f(t)，或者?t??时，f(t??t)?f(t)??。

?t?0把函数f(t)换成随机过程X(t)，limX(t??t)?X(t)会存在许多问题：左边的极限存在吗？两个

?t?0随机变量如何相等？过去也没有研究过此类问题。

把连续性引入到随机过程X(t)，简单照搬行不通

一、定义：如果随机过程X(t)满足：

limE[(X(t??t)?X(t))]?0

2?t?0则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续，简称X(t)为均方连续。

二、X(t)为均方连续的条件：

若RX(t1,t2)沿直线t1?t2?t处处连续，则随机过程X(t)对于每一t都连续。 三、性质

随机过程X(t)均方连续，则其数学期望必连续。即设mX(t)?E(X(t))?则有limmX(t??t)?mX(t)

?t?0?????xpX(x,t)dx，

1．8．2 随机过程的导数与微分

问题：形式定义为：limX(t??t)?X(t)?t??t?0?X(t)，如果此极限过程的所有样本函数皆存在，则X(t)具有通常导数的意义。要求太高，不易满足。

一、圴方导数的定义

若极限limX(t??t)?X(t)?t??t?0?X(t)在均方意义下存在，则称过程X(t)具有均方意义下的导

数，严格定义如下：

?如果我们能找到另一随机过程X(t)，满足

limE[(X(t??t)?X(t)?t??t?0?X(t))]?0

2则称X(t)在时刻t有均方导数。

18

二、均方可导的条件

若相关函数在它自变量相等时，存在二阶偏导数，即有均方导数。 证明：

??RX(t1,t2)?t1?t2t1?t2?t2存在，则X(t)在时刻t三、导数X(t)的数学期望

?设 Y(t)?X(t)，mX(t)?E(X(t))，则

E(Y(t))?dmX(t)dt

即：随机过程导数的期望等于随机过程期望的导数。

证明：

四、导数的相关函数

?设Y(t)?X(t)，则

RY(t1,t2)??RX(t1,t2)?t1?t22

证明：

1．8．2 随机过程的积分

回顾：定积分的定义：Y??bnaf(t)dt?lim?ti?0?i?1f(ti)?ti。把函数f(t)换成随机过程X(t)，便有

Y??bnaX(t)dt?lim?ti?0?X(ti?1i)?ti。极限的收敛性要特殊定义。

一、均方积分定义

若

n?ti?0limE[(Y??i?1X(ti)?ti)]?0

2则称随机变量Y?二、可积条件

若?ba?baX(t)dt为随机过程X(t)在确定区间[a,b]上的均方积分。

?baRX(t1,t2)dt1dt2??，则随机过程X(t)在[a,b]上均方积分。

19

三、随机过程积分的数学期望 设 Y?证明：

四、随机过程积分的均方值与方差 设Y?证明：Y?baX(t)dt，则E(Y)??baE(X(t))dt??bamX(t)dt。

?2baX(t)dt，则E(Y)?2??abbaRX(t1,t2)dt1dt2。

b?2?baX(t)dt?X(t)dt?ab?baX(t1)dt1?X(t2)dt2?a??abbaX(t1)X(t2)dt1dt2

E(Y)???abbaE(X(t1)X(t2))dt1dt2???abbaRX(t1,t2)dt1dt2

五、随机过程积分的相关函数 设 Y(t)??t0X(?)d?，则RY(t1,t2)???0t10t1t20RX(?1,?2)d?1d?2。

t2证明：RY(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?E[?X(?1)d?1?X(?2)d?2]

0???0t1t20E[X(?1)X(?2)]d?1d?2???0t1t20RX(?1,?2)d?1d?2

1．8．2 随机过程的微分与积分计算举例

??例1 设Y是一随机变量，X(t)?tY，求X(t)，E[X(t)]，?X(t)dt。

a??b解：X(t)?Y，E[X(t)]?mz，?X(t)dt?Y?tdt?aabbY(b?a)222。

?例2．X(t)?acos(?0t??)，a与?0为常数，?为一随机变量，求X(t)，Y?T＞0，是常数。

??T?TX(t)dt。

解：X(t)??a?0sin(?0t??)，

Y??T?TX(t)dt??T?Tacos(?0t??)dt?a?0sin(?0t??)T?T

?a?0sin(?0t??)T?T?a?0[sin(?0T??)?sin(??0T??)]?2acos(?)sin(?0T)?0

20