第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1(4)

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忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有

于是

1 ??y???1??2?h?bh12. (4)

2 ?2?h?h1 (3)

由几何关系有 故

h1?ytan?. (5)

??y??h?y2tan2?. (6)

从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x轴，狭缝的y值应与对应介质的y值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.

对于y?0处，由上式得

d(0)=h. (7)

b2y处与y?0处的光线的光程差为

??y????0??b2ytan2?. (8) 2由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即 由此得

y?2k?cot??Ak,bA?2?cot?. (10) b

b22ytan??k?,k?1,2,3,?. (9) 2除了位于y=0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y坐标依次为

A,2A,3A,4A,?. (11)

2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取k?m,4m,9m,?，其中m为任意正整数，则

ym?mA,y4m?2mA,y9m?3mA,?. (12)

这些狭缝显然彼此等间距，且相邻狭缝的间距均为mA，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.

第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分， (6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.

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八、参考解答：

1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为pe（pe?0）、p?（p??0），碰撞后电子、光子的能量、 动量分别为E?e,pe?,E??,p??. 由能量守恒有

Ee+Eg=Ee￠+Eg￠.

由动量守恒有

pe+pg=pe￠+pg￠.

光子的能量和动量满足

Eg=pgc,Eg￠=pg￠c.

电子的能量和动量满足

E22224e?pec?mec，E?2e?p2224e?c?mec 由(1)、(2)、(3)、(4)式解得

E E?2?m24?Ee?Eeec????E224 e?Ee?mec???2E?2. 由(5)式可见，为使Eg￠>Eg, 需有

E2E224?E???E????(Ee?mec?)?0Ee?E2?m2c4

ee??2E?即

E2?m24eec?E? 或 pe?p?

注意已设pe>0、pg<0. 3. 由于Ee??mec2, 因此有 2

E2?m2c4ee?Emc4ee?2E.

e将(7)式代入(5)式得

E2EeEgg￠?2E24g+mec2E. e代入数据，得 Eg￠?29.7′106eV.

评分标准：本题20分.

第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 式2分；第2问5分，(6) 式5分；

第3问5分，(7) 式2分， (8) 式1分， (9) 式2分.

(1) (2) (3)

(4) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)