第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1(2)

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七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为?，高为h. 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随x而变化，n(x)?1?bx，其中常数b?0. 一束波长为?的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y=0处；物和像之间各光线的光程相等. 1. 求其余各狭缝的y坐标；

2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.

x??hy

Oyh? x

zO

图(a) 图(b)

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八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为me，真空中的光速为 c. 若能量为Ee的电子与能量为E?的光子相向对碰， 1. 求散射后光子的能量；

2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；

3. 如果入射光子能量为2.00 eV，电子能量为 1.00′109 eV，求散射后光子的能量. 已知

1me=0.51′1106 eV/c2. 计算中有必要时可利用近似：如果x??1，有1-x?1-x. 2

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第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准

一参考解答：

以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向 (水平方向)分量v?及经线切向分量v?. 设滑块质量为

O?Pm，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的

夹角为?. 由机械能守恒得

111222mv0??mgRsin??mv??mv? (1) 222这里已取球心O处为重力势能零点. 以过O的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故

mv0R?mv?Rcos?.

(2)

由 (1) 式，最大速率应与?的最大值相对应

vmax?v(?max). 而由 (2) 式，q不可能达到π(3)

2. 由(1)和(2)式，q的最大值应与v??0相对应，即

v?(?max)?0. (4) [

(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 2gRsin??v0tan若sin??0，由上式得

222??v??0.

sin?2gR?. 22cos?v0

实际上，sin?=0也满足上式。由上式可知 由(3)式有

v?(?max)?2gRsin?max?v0tan]

将v?(?max)?0 代入式(1)，并与式(2)联立，得

2v0sin2?max?2gRsin?max?1?sin2?max??0.

sin?max2gR?. 22cos?maxv0

222?max?0.

(4’)

(5)

以sin?max为未知量，方程(5)的一个根是sinq=0，即q=0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的

解. 于是sin?max?0. 约去sin?max，方程(5)变为

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其解为

22gRsin2?max?v0sin?max?2gR?0.

(6)

sin?max2??v0g2R2??1?164?1?.

?4gR?v0??(7)

注意到本题中sin??0，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当???max时，

考虑到(4)式有

评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分.

二、参考解答：

1. 由于碰撞时间?t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为vA、vC、vD，显然有

2vmax?v??2v??124v0?v0?16g2R2, 2??(8)

124v0?v0?16g2R2. 2??(9)

vD?2lvCr.

(1)

以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒

mvD2l?mvCr?mvA2l?mv02l.

(2)

由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间?t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故

由 (1)、(2)、(3) 式解得

12121212mvD?mvC?mvA?mv0. 2222(3)

4lr8l2r2 vC?22v0,vD?22v0,vA??22v0 (4)

8l?r8l?r8l?r[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点

同样可解出(4). ]

设碰撞过程中D对A的作用力为F1?，对A用动量定理有

v0?vD?vA.

(3’)

4l2?r2F1??t?mvA?mv0??222mv0,

8l?r(5)

方向与v0方向相反. 于是，A对D的作用力为F1的冲量为

10

4l2?r2F1?t?222mv0 (6)

8l?r方向与v0方向相同.

以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为x，则

质心在碰后瞬间的速度为

v?vC4l(2l?r)x?v0. 22r(??2)(8l?r)x?mr?m2l2l?r.

?(??2)m??2(7)

(8)

轴与杆的作用时间也为?t，设轴对杆的作用力为F2，由质心运动定理有 由此得

F2?t?r(2l?r)2mv0. 8l2?r2F2?t?F1?t????2?mv?4l(2l?r)mv0. 228l?r(9)

(10)

方向与v0方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为

F2??t??r(2l?r)2mv0, 8l2?r2(11)

方向与v0方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.

[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理

F2?t?F1?t?mvC?mvD. ]

[也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]

2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度vC?4lrv绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即 2208l?r2vC16l2r2k?r????m?222mv0 (12) r(8l?r)

则弹簧总保持其 …… 此处隐藏：1468字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……