第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1

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第30届全国中学生物理竞赛复赛试题

一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v0?0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g.

二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为?m（?为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处. 1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件.

v0 2

三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令??m表示细杆质量线密度. 当杆以角速度?绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转L动动能可表示为

Ek?k????L?

式中，k为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出?、?和?的值.

2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.

3. 试求当杆摆至与水平方向成?角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g.

提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为

dY(X(t))dYdX ?dtdXdt例如，函数cos?(t)对自变量t的导数为

dcos?(t)dcos?d? ?dtd?dt

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四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成. 质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h. 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g. 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势Vmax.

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五、（25分）平行板电容器两极板分别位于z??d的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀2磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向，如图所示.

1. 在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度(0,v,0)（这里(0,v,0)表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S?中，可能既有电场

?,Ey?,Ez?)又有磁场(Bx?,By?,Bz?). 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S?中电场(Ex?,Ey?,Ez?)和磁场(Bx?,By?,Bz?)的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变. (Ex2. 现在让介电常数为?的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v，方向沿y轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S?中，由于液体处在第1问所

?,Ey?,Ez?)中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出述的电场(Ex?,Ey?,Ez?)，而是现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(Ex?0?,Ey?,Ez?)，这里?0是真空的(Ex?介电常数. 这将导致在电容器参考系S中电场不再为零. 试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用?0、?、v、B或（和）d表出. ）

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六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20?C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.0?10/度和

?52.0?10/度. 当温度升高到120?C时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率

?5半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )