第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1(3)

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三、参考解答：

1. 当杆以角速度?绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量?、?和L的函数，按题意 可表示为

Ek?k????L? (1)

式中，k为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[L]、[M]和[T]（它们可视为相互独立的基本单位），则?、?、L和Ek的单位分别为

[?]?[M][L]?1,

[?]?[T]?1,[L]?[L],[Ek]?[M][L]2[T]?2 (2)

在一般情形下，若[q]表示物理量q的单位，则物理量q可写为

q?(q)[q] (3) 式中，(q)表示物理量q在取单位[q]时的数值. 这样，(1) 式可写为

(Ek)[Ek]?k(?)?(?)?(L)?[?]?[?]?[L]? (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即

(Ek)?k(?)?(?)?(L)? (5) [Ek]?[?]?[?]?[L]? (6) 将 (2)中第四 式代入 (6) 式得

[M][L]2[T]?2?[M]?[L]???[T]?? (7)

(2)式并未规定基本单位[L]、[M]和[T]的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[L]、[M]和[T]均成立，于是

??1,??2,??3 (8) 所以

Ek?k??2L3 (9) 2. 由题意，杆的动能为

Ek?Ek,c?Ek,r (10) 其中，

Ek,c121L??mvc?(?L)???? (11) 22?2?2注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为转动，因而，杆在质心系中的动能Ek,r为 Ek,r将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得

L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内2L?L??2Ek(?,?,)?2k??2?? (12)

2?2?3 12

由此解得 于是

Ek=1 k? (14)

61?L??L? k??L??L????2k??2?? (13)

2?2??2?23231lw2L3. (15) 63. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒

L? Ek?mg??sin?? (16) ?2?由(15)、(16)式得

w=3gsinq. (17) L以在杆上距O点为r处的横截面外侧长为?L?r?的那一段为研究对象，该段质量为??L?r?，其质心速度为

L?r?L?r????r??? vc. (18) ??2?2?设另一段对该段的切向力为T(以?增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为N(以指向O点方向为正向)，由质心运动定理得

T???L?r?gcos????L?r?at (19) N???L?r?gsin????L?r?an (20)

式中，at为质心的切向加速度的大小

at??L?rd?L?rd?d?3?L?r?gcos?dvc??? (21) dt2dt2d?dt4L而an为质心的法向加速度的大小

an??2L?r3?L?r?gsin??. (22) 22L由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

评分标准：本题25分.

第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；

第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；

T?N??L?r??3r?L?4L22L2mgcos? (23)

mgsin? (24)

?L?r??5L?3r? 13

第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.

四、参考解答：

设在某一时刻球壳形容器的电量为Q. 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有

mgh?kQq1Qq. ?mv2?2mgR?kh?R2R(1)

式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量. 由此得液滴的动能为

12Qq(h?2R)mv?mg(h?2R)?k. 2(h?R)R(2)

从上式可以看出，随着容器电量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为Qmax，则有 由此得

容器的最高电势为

Vmax?kQmax (5) RQmax?mg(h?R)R.

kqmg(h?2R)?kQmaxq(h?2R)?0.

(h?R)R(3)

(4)

由(4) 和 (5)式得

Vmax?mg(h?R) q(6)

评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.

五、参考解答：

1. 一个带电量为q的点电荷在电容器参考系S中的速度为(ux,uy,uz)，在运动的参考系S?中的速度为

?,u??S中只存在磁场(Bx,By,Bz)?(?B,0,0)，因此这个点电荷在参考系S中所受磁场的作用(uxy,uz). 在参考系

力为

Fx?0,Fy??quzB, Fz?quyB(1)

?,Ey?,Ez?)又有磁场(Bx?,By?,Bz?)，因此点电荷q在S?参考系中所受电场和在参考系S?中可能既有电场(Ex磁场的作用力的合力为

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??u????Fx??q?(ExyBz?uzBy),

??ux?Bz??uz?Bx?), Fy??q?(Ey?By??u??Fz??q?(Ez??uxyBx)(2)

两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为

q??q, (Fx?,Fy?,Fz?)?(Fx,Fy,Fz),?,u??(uxy,uz)?(ux,uy,uz)?(0,v,0) (3)

由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两 …… 此处隐藏：2357字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……