几何图形在微积分中的作用及在 几何画板下的实现(4)

楚雄师范学院本科论文（设计） 所求曲顶柱体体积为

V??A(x)dx??(?aabby2(x)y1(x)f(x,y)dy)dx.

故等式成立.

(a) (b)

图9

3.2 三重积分的计算

三重积分的计算方法也是微积分中重要的计算方法，可以帮助其它学科求解计算问题，但是我们根据定义不好理解这种计算的方法及过程，我们借助几何画板理解这种方法，就容易理解一些.首先来了解三重积分的定义. 定义6

[2] 设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区间V上的函数，J是一

个确定的数.若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对于V的任何分割T，只要

T??，属于分割T的所有积分和都有

?f(?,?,?)?V?Jiiiii?1n??.

则称f(x,y,z)在V上可积，数J称为函数f(x,y,z)在V上的三重积分，记作 J????f(x,y,z)dV或J????f(x,y,z)dxdydz.

VV其中f(x,y,z)称为被积函数，x,y,z称为积分变量，V称为积分区域.

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楚雄师范学院本科论文（设计） 特别的，当f(x,y,z)?1时，

??dV在数值上表示V的体积.

V 三重积分计算比二重积分计算更复杂，它的基本思想也是转换为累次积分来计算.一般我们采用先一后二的方法，也就是先对其中一个变量积分，积完之后转化为一个二重积分.由于三重积分的积分区域V是由空间当中的曲面围成，所以三重积分的计算会比较复杂，但是利用几何画板作出相关图形，我们就比较容易理解和接受三重积分的计算方法.

如图11所示，设?是由母线平行于z轴的柱面和曲面z?z1(x,y)、z?z2(x,y)所围成的区域，且z1(x,y)、z2(x,y)是Dxy上?在坐标平面Oxy上的投影区域为有界闭域Dxy，的连续函数，满足z1(x,y)?z2(x,y).它可以表示为

??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy.

又有

??Dxy??(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b?，

则有

???(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),y1(x)?y?y2(x),a?x?b?.

于是，三重积分可以转换为三次积分：

f(x,y,z)dv??????ba?y2(x)?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dy?dx???. ?????y1(x)??z1(x,y)图11

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4 结语

通过以上讨论，我们可以看到几何图形在微积分中起着重要作用，几何画板是一个简单而实用的软件，它在学习数学中起着重要作用，使数学简单明了，微积分的相关知识也在图形中得到体现，充分体现数形结合思想.

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参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001. [2] 华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京：高等教育出版社，2001. [3] 刘胜利·几何画板课件制作教程[M]·北京：科学出版社，2005.

[4] 朱俊杰，缪亮,周传高·几何画板课件制作百例[M]·北京：清华大学出版社，2005. [5] 陶庆林·几何画板实用范例教程[M]·北京：清华大学出版社，2003.4. [6] 杨华侨·关于几何画板辅助数学教学的思考[J]·北方经贸，2001年02期. [7] 华东师范大学数学系.高等数学下册[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

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致谢

本课题在选题及研究过程中得到邓老师的悉心指导.邓老师多次询问研究进程，并为

我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励.邓老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时三载，却给以终生受益无穷之道.对邓老师的感激之情是无法用言语表达的.

感谢邓燕林老师、黄英老师、刘鹏老师、张小乐老师等对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究，在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.

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