几何图形在微积分中的作用及在 几何画板下的实现(3)

楚雄师范学院本科论文（设计）

J??f(x)dx.

ab其中，f称为被积函数，x称为积分变量，?a,b?称为积分区间，a,b分别称为这个定积分的下限和上限.

在微积分中，定积分的定义是通过求曲边梯形的面积、变力做功等几何学与物理学中抽象出来的概念.定积分定义给出了一种解决问题的模型，其核心就是微元法，利用微元法我们可以解决几何学、物理学、经济学中的很多问题.为了便于理解这个方法，我们借助几何画板做出几何图形，从几何的角度来认识这个方法和定积分的本质. 例4. 计算函数y?2在区间[a,b]上的曲边梯形的面积.

制作

[4]x：

x(1) 绘制新函数y?2，在X轴上任意取两点A，B. (2) 新建参数t作为区间[A,B]的等分线段数.计算t?1和1/t.

(3) 标记比值1/t，双击A以其为缩放中心，选中B，选<变换/缩放>，得B'. (4) 度量A，B'的横坐标X，再计算这两点对应的函数值Y，根据这两点的坐标绘制曲线y?2上的两个点E，F.

(5) 分别作线段AE，FB'，过点E作X轴的平行线，交FB'于点G，隐藏平行线，作线段EG，选中点A，E，G，B'，单击<作图/四边形内部>.

(6) 选中点A，参数t，和度量值t?1，按住Shift键，选择<变换/带参数迭代>，在迭代对话框中，依次单击B'和t?1.

x

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楚雄师范学院本科论文（设计） 当t?12时，函数图象如下图6所示.

图6

当t?100时，函数图象如下图7所示.

图7 从图中我们看出，当t值越大，无限多个小矩形的面积之和将近似等于曲边梯形的面积.

2.5 傅里叶级数

傅里叶级数是一种重要级数，级数在微积分中也是重要的一部分.傅里叶级数在物理学

有广泛的用途，比如信号的处理，傅里叶变换为我们提供了一种新的观察、分析事物的角度，而且在很多时候，这一角度比变换前更接近事物的本质.我们将深入了解傅里叶级数,学会它的应用,傅里叶级数概念

[2]如下：

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楚雄师范学院本科论文（设计） 如果函数f(x)是以2?为周期的函数，且积分

an?f(x)cos(nx)dx , (n?0,1,2,?), ????1?bn?f(x)sin(nx)dx , (n?0,1,2,?). ????1?都存在，由上面式子所确定的常数a0,an,bn(n?1,2,?)，称为函数f(x)的傅里叶系数，并称具有傅里叶系数的三角级数

a0???(ancosnx?bnsinnx) 2n?1为函数f(x)的傅里叶级数，记为

a0?f(x)～??(ancosnx?bnsinnx).

2n?1 例5

[7]. 讨论函数

??1,???x?0, f(x)??0?x??.?1,的傅里叶级数的收敛情况.

由题意知，函数f(x)是区间???,??上的奇函数（忽略函数在x?0点的值）.将函数f(x)周期延拓到区间???,??上，得到以2?为周期的函数f(x).

~an?bn?1?2??f(x)cosnxdx?0 ?n?0,1,2,??，

?????0f(x)sinnxdx?2???0sinnxdx?2(1?cosn?)n?

?0,当n为偶数时,2?n?1?(?1)??4,当n为奇数时.n???n???于是

~

f(x)~4?sin3xsin5x??????sinx???35?.

由狄里克莱收敛定理可知，当x?k?(k?0,?1,?2,?)时，傅里叶级数收敛于零；当

x?k?(k?0,?1,?2,?)时，傅里叶级数收敛于f(x).特别地，当0?x??时，有

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~ 楚雄师范学院本科论文（设计）

f(x)?用几何画板画出函数

4?(sinx?sin3xsin5x???). 354sin3x??1,???x?0,4)， 及S1(x)?sinx，S2(x)?(sinx?f(x)???31,0?x??.??S3?4?(sinx?sin3xsin5x?) 35

的图像，如图8所示.

4y4321π5π62π3π2π3π6Oπ6π3π22π312344y4S1(x)=()?sinxπ4sin(3x)S2(x)=()?(sinx+())π332y=S2(x)1y=S1(x)π5π62π3π2π3π6Oπ6π3π22π31234

x (a)

x (c)

5π6π5π6π4S1(x)=()?sinxπyy=S1(x)321π5π62π3π2π3π6OAπ6π3π22π35π6xπ123(b)y4344S1(x)=()?sinxπ4sin(3x)S2(x)=()?(sinx+())π34sin(3x)sin(5x)S3(x)=()?(sinx+()+()π35π5π62π3π2π3π621Oπ6π3π22π35π6xπ123(d) 图8

从图8中看出，方波可以用一系列的正弦波、余弦波叠加起来表示.我们把级数的部分和逐渐趋近于这个函数的过程通过几何图形展示出来（图8）.显然可见项数取得越多，近似程度越好.这里，周期为2?，角频率??1，(a)图是基波和矩形波.(b)图是一项的正弦波，(c)图是两项的正弦波，(d)图是三项的正弦波.

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3 几何图形在重积分计算中的作用

3.1 二重积分的计算

在微积分中，二重积分的计算方法是一种重要的计算方法，在物理学中也有重要应用，

但是我们不容易理解二重积分的计算.接下来我将结合几何画板来理解二重积分的计算.先了解一下二重积分的定义： 定义5

[2]设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，

若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于D的任何分割T，当它的细度T??时，属于T的所有积分和都有

?f(?,?)??iii?1ni?J??,

则称f(x,y)?0在D上可积，数J称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作

J???f(x,y)d?，

D其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域. 当f(x,y)?0时，二重积分

??f(x,y)d?在几何上就表示以z?f(x,y)为曲顶，D为

D底的曲顶柱体的体积.当f(x,y)?1时，二重积分面积.

??f(x,y)d?的值就等于积分区域D的

D二重积分的计算方法是一种重要的计算方法，数学分析中证明了以下公式：

??f(x,y)d???dx?Daby2(x)y1(x)f(x,y)dy.

等式的左边

??f(x,y)d?是D上以曲面z?f(x,y)为顶的曲顶柱体?的体积，如图

D9(a)所示，在[a,b]上任取x,过点(x,0,0)作垂直于x轴的平面，它截曲顶柱体?所得的截面（图9(a)中阴影部分）是一个曲边梯形，此曲边梯形在坐标平面Oxy上的正投影如图(b)所示，其面积为

A(x)??y2(x)y1(x)f(x,y)dy.

利用已知平行截面面积为A(x)(x??a,b?)的立体体积公式，得

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