几何图形在微积分中的作用及在 几何画板下的实现(2)

楚雄师范学院本科论文（设计） 则称函数f当x趋于+?时以A为极限，记作

x???limf(x)?A或f(x)?A(x???).

定义1中有很多变量，我们单从定义理解会困难一些.下面将引入一个例题，借助几何画板画出函数图形，直观理解极限概念，更深刻的理解概念. 例1.求极限lim3x?53x?5，用几何画板画出函数f(x)?的图像，如图1所示，从

x???xx图中我们更容易理解定义1.

图1

从图1中看出，x趋于??时，f(x)无限接近于3.对任给的??0，在坐标平面上平行于x轴的两条直线y?3??与y?3??，围成以直线y?3为中心线、宽为2?的带形区域；定义中的“当x?M时有f(x)?A??”表示：在直线x?M的右方，曲线y?f(x)全部落在这个带形区域之内.如果正数?给得小点，即当带形区域更窄一点，那么直线

x?M一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线

y?f(x)在直线x?M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.

上面讨论了x趋于?时函数的极限，下面将讨论x趋于x0时的函数极限. 定义2

[2] （函数极限的???定义) 设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;?)内

'0'有定义，A为定数.若对任给的??0，存在正数?(??)，使得当0?x?x0??时有

2

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f(x)?A??，

则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0).

x2?1x2?1例2. 求极限lim，用几何画板画出函数f(x)?的图像，如图22x?12x2?x?12x?x?1所示，从图中我们更容易理解定义2.

图 2

2 从图2中看出，x趋于1时，f(x)无限接近于.对任给的??0，在坐标平面上画

32y?为中心线、宽为2?的横带，则必存在以直线x?1为中心线、宽为2?的竖带，使函

3数y?f(x)的图像在该竖带中的部分全部落在横带内，但点(x0,f(x0))可能例外.

2.2 两个重要极限

1? 在微积分中有两个重要极限，它们是limsinx ，lim??1??，在数学分析中，应用两

x??x?0x?x?边夹法则证明极限的过程不好理解，但是我们借助图形理解极限，我们就能直观的把握这两个极限，下面将用几何画板画出它的图形，根据图形理解这两个重要极限. 对于极限y?xsinxsinx，我们利用几何画板画出函数y?图象，如图3所示，由图3xx可以看出，当x?0时，f(x)?1.

3

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图3

?1??1? 对于极限f(x)??1??，利用几何画板画出函数f(x)??1??图象，如图4所示.

?x??x?xx

图4

从图4看出，函数g(x)?e是函数f(x)?(1?1x)的一条渐近线，当x趋于??时，x函数f(x)无限接近常数e，当x趋于??时，函数f(x)也无限接近常数e，也即函数的左、

右极限相等， 即有

11lim(1?)x?e，lim(1?)x?e. x???x???xx1lim(1?)x?e. x??x

4

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通过对上面两个重要极限的认识，我们可以看出，几何图形在微积分中的重要作用，在直觉思维起了很好的引导作用.若单从两个重要极限的证明来分析，会比较抽象、晦涩，难于理解，但是通过几何图形来认识，我们对两个重要极限更容易理解掌握.

2.3导数的几何意义

在微积分中，除了极限是微积分中的一个重要概念，导数也是微积分中的一个重要概

念，在微积分中离不开导数的理解及求法.同样导数的概念也抽象，不易理解，导数的应用非常广，在物理学，生物学等都有重要应用，应用导数能迅速、快捷地讨论函数极值，函数单调性，拐点等. 定义3

[1] 设函数y?f(x)在点x0的某领域内有定义，若极限

x?x0limf(x)?f(x0)

x?x0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'(x0).

在一般微积分中，导数的定义是通过一些实际问题，如切线斜率、瞬时速度等抽象出来的概念.我们在理解这一概念时，如果从几何意义来认识，会理解更深刻.下面我们通过一个例子来说明导数的几何意义.

例3. 求曲线y?x3?2x2?x在任意点处的切线. 制作

[3]：

(1) 绘制新函数y?x3?2x2?x.

(2) 在曲线上任意取两点A，B，度量它们的横纵坐标XA，YA，XB，XB.计算

(YB?YA)/(XB?XA)，作为割线AB的斜率.

(3) 选中A，B，构造直线AB，得割线AB，接着度量其斜率和方程. (4) 右键单击函数y?x3?2x2?x，求出其导函数f'(X). (5) 度量函数在XA的导数f'(XA).

(6) 绘制新函数YA?f'(XA)?(X?XA)，得到曲线上任意点A的切线. 我们可以演示的操作以及观察如下：

5

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(1) 拖动A，得曲线在任意点的切线.

(2) 拖动B向点A靠近，观察的斜率与f?(XA)之间的关系.

图5

从图5看出函数在点A的导数等于在该点的切线的斜率，若在区间?a,b?,有f'(x)?0时，函数在区间单调递增，若在区间?a,b?,有f'(x)?0时，函数在区间单调递减. 当

f'(x)?0，函数存在极值.

2.4 定积分意义的动态演示

定积分也是微积分中的一个重要概念，也是比较抽象的一个概念. 定积分概念涉及近代

微积分思想———“以直代曲，以有限逼近无限”.

定义4

[2] 设f是定义在?a,b?上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数?，

总存在某一正数?，使得对?a,b?的任何分割T，以及在其上任意选取的点集??i?，只要

T??，就有

?f(?)?xii?1ni?J??，

则称函数f在区间?a,b?上可积或黎曼可积；数J称为f在?a,b?上的定积分或黎曼积分，记作

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