[创新方案]2015高考数学（理）一轮突破热点题型：第7章 第5节 直(2)

(2)垂直与平行结合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．

(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．

如图所示，在直三棱柱ABC -A1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB＝

BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．求证：

(1)B1C∥平面A1BD； (2)B1C1⊥平面ABB1A1. 证明：

(1)如图所示，连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点．连接OD， ∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD. ∴B1C∥平面A1BD.

(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形．

∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴AC1⊥A1B.

又∵AC1?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1. 又∵B1C1?平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.

又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1. 又∵A1A?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1， ∴B1C1⊥平面ABB1A1.

考点四 线面角、二面角的求法

[例4] (2014·杭州模拟)在几何体中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，CC1∥AA1，AB＝BC＝

AA1＝2，CC1＝1，D，E分别是AB，AA1的中点．

(1)求证：BC1∥平面CDE； (2)求二面角E-DC-A的正切值．

[自主解答] (1)证明：连接AC1交EC于点F，连接EC1，由题意知四边形ACC1E是矩形，则F是AC1的中点，连接DF，

∵D是AB的中点，

∴DF是△ABC1的中位线， ∴BC1∥DF，

∵BC1?平面CDE，DF?平面CDE， ∴BC1∥平面CDE.

(2)过点A作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE， ∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，

又AH∩AA1＝A，AH，AA1?平面AHE， ∴CD⊥平面AHE，∴CD⊥EH， ∴∠AHE是二面角E-DC-A的平面角．

∵D是AB的中点，

∴AH等于点B到CD的距离，

2525在△BCD中，求得点B到CD的距离为，则AH＝. 55AE5

在△AEH中，tan ∠AHE＝＝，

AH2即所求二面角的正切值为

5. 2

【方法规律】

1．求斜线与平面所成的角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 2．求二面角的步骤

(1)作出二面角的平面角；

(2)证明该角就是二面角的平面角； (3)计算该角的大小．

以上3步简记为作、证、算． 3．作二面角平面角的方法

法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如图①，∠AOB为二面角α-a-β的平面角．

法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半角平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．

法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．

如图③，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．

(2012·广东高考) 如图所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B-PC-A的正切值．

解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD. 又∵PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC， ∴BD⊥平面PAC.

(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE. ∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面BDE， ∴PC⊥BE，PC⊥OE. ∴∠BEO即为二面角B-PC-A的平面角．

由(1)知BD⊥平面PAC. 又∵OE、AC?平面PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥AC. 故矩形ABCD为正方形，

∴BD＝AC＝22， 1

BO＝BD＝2.

2

由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PA⊥BC. 又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.

而PB?平面PAB，∴BC⊥PB.

在Rt△PAB中，PB＝PA2?AB2＝5， 在Rt△PAC中，PC＝PA2?AC2＝3，

25在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝. 32

在Rt△BOE中，OE＝BE2?EO2＝.

3BO

∴tan ∠BEO＝＝3，

OE

即二面角B-PC-A的正切值为3.

————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

1个转化——三种垂直关系的转化

判定

线线垂直

判定性质线面垂直

判定性质面面垂直

性质

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

3种方法——三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b. (2)判定线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理；

②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”； ③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”； ④利用面面垂直的性质． (3)判定面面垂直的方法

①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.